Encontre o operador que anula as funções abaixo:
x^3 e^-3 x+x^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o operador que anula a função f(x) = x^3 e^-3x + x^2 . Isso está relacionado ao método dos operadores diferenciais, que usamos para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar esses operadores para cada termo da função e depois combiná-los.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função em duas partes: x^3 e^-3x e x^2 . Isso ajuda a achar o operador que anula cada parte individualmente.

Passo 3

Vamos começar com x^3 e^-3x . Para funções da forma x^n e^ax , o operador que anula é (D - a)^n+1 , onde D representa a derivada em relação a x . Nesse caso, a = -3 e n = 3 , então o operador é:
(D + 3)^4

Passo 4

Agora, vamos para x^2 . Para polinômios como x^n , o operador que anula é D^n+1 . Aqui, n = 2 , então o operador é:
D^3

Passo 5

Para encontrar o operador que anula toda a função f(x) = x^3 e^-3x + x^2 , precisamos combinar os operadores que anulam cada parte. Como (D + 3)^4 e D^3 são operadores diferentes, o operador final será o mínimo múltiplo comum (MMC) dos dois:
(D + 3)^4 cdot D^3

Resposta

O operador que anula a função x^3 e^-3x + x^2 é:
(D + 3)^4 cdot D^3

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