Encontre a solução de uma das equações diferenciais abaixo utilizando a substituição y=mu(x) y1(x) onde y1(x) é uma solução da equação:
x y^prime prime-(x+1) y^prime+y=0, y1=e^x.

Passo 1

Temos a EDO de segunda ordem
x,y''-(x+1),y'+y=0
sendo dada uma solução conhecida y1(x)=e^x. O tema é redução de ordem: vamos achar a segunda solução usando a substituição y=mu(x)y1(x).

Passo 2

Para aplicar redução de ordem, primeiro colocamos a equação em forma padrão dividindo tudo por x (supondo xneq0):
y''-l(1+1xr)y'+1x,y=0
Assim identificamos o coeficiente de y' que vai aparecer na redução.

Passo 3

Fazemos a substituição
y=mu(x)e^x
e calculamos as derivadas:
y'=mu' e^x+mu e^x,
y''=mu'' e^x+2mu' e^x+mu e^x

Passo 4

Substituindo y, y' e y'' na forma padrão obtemos, fatorando e^x:
mu''+(2-(1+tfrac1x))mu'+l(1-(1+tfrac1x)+tfrac1xr)mu=0
que simplifica para
mu''+l(1-tfrac1xr)mu'=0

Passo 5

Definimos u=mu'. Então a equação vira de primeira ordem:
u'+l(1-tfrac1xr)u=0,
onde usei u'=du/dx. Essa é linear e separável.

Passo 6

Resolvendo para u:
duu=-l(1-1xr)dx
Integrando:
ln|u|=-x+ln|x|+C1
o que dá
u=Cx e^-x(C=e^C1)
Depois
mu(x)=integral u,dx=Cintegral x e^-xdx=Cl(-e^-x(x+1)r)+C2

Passo 7

Substituindo de volta em y=mu e^x, temos duas constantes de integração C1,C2. A solução geral fica:
y=C1e^x+C2(x+1)

Resposta

A solução geral da equação é
y(x)=C1e^x+C2,(x+1),
com C1,C2 constantes arbitrárias.

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