Encontre a solução de uma das equações diferenciais abaixo utilizando a substituição
onde
é uma solução da equação:
.
Passo 1
Temos a EDO de segunda ordem
sendo dada uma solução conhecida
. O tema é redução de ordem: vamos achar a segunda solução usando a substituição
.
Passo 2
Para aplicar redução de ordem, primeiro colocamos a equação em forma padrão dividindo tudo por
(supondo
):
Assim identificamos o coeficiente de
que vai aparecer na redução.
Passo 3
Fazemos a substituição
e calculamos as derivadas:
Passo 4
Substituindo
,
e
na forma padrão obtemos, fatorando
:
que simplifica para
Passo 5
Definimos
. Então a equação vira de primeira ordem:
onde usei
. Essa é linear e separável.
Passo 6
Resolvendo para
:
Integrando:
o que dá
Depois
Passo 7
Substituindo de volta em
, temos duas constantes de integração
. A solução geral fica:
Resposta
A solução geral da equação é
com
constantes arbitrárias.