Encontre a reta tangente ao gráfico de f(x)=ln (cos (sin (x)) no ponto (0,0).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de f(x)=lnl(cos(sin(x))r) no ponto (0,0). Para isso, vamos calcular f(0) e f'(0), pois a equação da reta tangente em x0 é
y = f'(x0),(x - x0) + f(x0)

Passo 2

Calcular f(0):
f(0) = lnl(cos(sin(0))r) = lnl(cos(0)r) = ln(1) = 0

Passo 3

Obter a derivada f'(x) aplicando a regra da cadeia em três camadas:
ln(u), com u=cos(v), e v=sin(x).
Primeiro,
ddxln(u)=u'u, ddxcos(v)=-sin(v),v', ddxsin(x)=cos(x)
Logo,
f'(x) =ddxlnl(cos(sin(x))r) =-sin(sin(x))cdotcos(x)cos(sin(x))

Passo 4

Avaliar f'(0):
sin(sin(0))=sin(0)=0, cos(0)=1, cos(sin(0))=1,
então
f'(0)=-0cdot11=0

Passo 5

Montar a equação da reta tangente com x0=0, f(0)=0 e f'(0)=0:
y = 0cdot(x-0) + 0 = 0

Resposta

A reta tangente é y=0.

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