Encontre o operador que anula as funções abaixo:
3+e^x cos 3 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar um operador que anula a função 3 + e^x cos 3x . Isso significa que queremos descobrir um operador diferencial que, ao ser aplicado nessa função, resulta em zero. Para isso, vamos usar conceitos de operadores diferenciais e anulação de funções. Precisaremos entender como esses operadores funcionam e como aplicá-los a cada parte da função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função em duas partes: a constante 3 e a parte e^x cos 3x . Vamos encontrar um operador que anula cada uma dessas partes individualmente e depois combiná-los para obter o operador final.

Passo 3

Vamos começar com a constante 3 . Para anular uma constante, usamos o operador diferencial D , onde D representa a derivada em relação a x . Aplicando D em 3 :
D(3) = 0
Assim, o operador que anula 3 é simplesmente D .

Passo 4

Agora, vamos para a parte e^x cos 3x . Para encontrar um operador que anula essa expressão, usamos a teoria de anulação de funções exponenciais e trigonométricas. A regra geral para uma função da forma e^ax cos bx é usar o operador:
(D - a)^2 + b^2
Onde a = 1 e b = 3 no nosso caso. Substituindo esses valores na fórmula:
(D - 1)^2 + 3^2 = (D - 1)^2 + 9
Vamos expandir isso:
(D - 1)^2 = D^2 - 2D + 1
Então:
D^2 - 2D + 1 + 9 = D^2 - 2D + 10
Portanto, o operador que anula e^x cos 3x é D^2 - 2D + 10 .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar um operador que anule a soma das duas partes, 3 + e^x cos 3x . Para isso, tomamos o mínimo múltiplo comum (MMC) dos operadores que anulam cada parte individualmente. Os operadores são D e D^2 - 2D + 10 .
Como D e D^2 - 2D + 10 não têm fatores comuns além de constantes, o MMC deles é simplesmente o produto desses operadores:
D cdot (D^2 - 2D + 10) = D^3 - 2D^2 + 10D

Resposta

O operador que anula a função 3 + e^x cos 3x é:
D^3 - 2D^2 + 10D

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