Encontre o operador que anula as funções abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar um operador que anula a função
. Isso significa que queremos descobrir um operador diferencial que, ao ser aplicado nessa função, resulta em zero. Para isso, vamos usar conceitos de operadores diferenciais e anulação de funções. Precisaremos entender como esses operadores funcionam e como aplicá-los a cada parte da função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a função em duas partes: a constante
e a parte
. Vamos encontrar um operador que anula cada uma dessas partes individualmente e depois combiná-los para obter o operador final.
Passo 3
Vamos começar com a constante
. Para anular uma constante, usamos o operador diferencial
, onde
representa a derivada em relação a
. Aplicando
em
:
Assim, o operador que anula
é simplesmente
.
Passo 4
Agora, vamos para a parte
. Para encontrar um operador que anula essa expressão, usamos a teoria de anulação de funções exponenciais e trigonométricas. A regra geral para uma função da forma
é usar o operador:
Onde
e
no nosso caso. Substituindo esses valores na fórmula:
Vamos expandir isso:
Então:
Portanto, o operador que anula
é
.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar um operador que anule a soma das duas partes,
. Para isso, tomamos o mínimo múltiplo comum (MMC) dos operadores que anulam cada parte individualmente. Os operadores são
e
.
Como
e
não têm fatores comuns além de constantes, o MMC deles é simplesmente o produto desses operadores:
Resposta
O operador que anula a função
é: