Encontre \operatorname{det}(A), adj A e A^{-1}, com
A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}
e pede (a) o determinante de A, (b) a matriz adjunta de A (isto é, \mathrm{adj}\,A) e (c) a inversa de A. Para isso vamos usar:
  1. A regra de Sarrus ou expansão por cofatores para \det(A).
  2. O fato de que \mathrm{adj}\,A é a transposta da matriz de cofatores de A.
  3. A fórmula
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{adj}\,A.

Passo 2

Calcular \det(A). Usando a regra de Sarrus, escrevemos os três primeiros coeficientes de cada linha duas vezes em ciclo e somamos produtos principais menos produtos secundários:
\det(A) =1\cdot1\cdot1 + 1\cdot1\cdot0 + 0\cdot1\cdot2 -\bigl(0\cdot1\cdot0 + 1\cdot1\cdot1 + 1\cdot2\cdot1\bigr) =1 + 0 + 0 - (0 + 1 + 2) =-2.

Passo 3

Calcular a matriz de cofatores C=(C_{ij}), onde
C_{ij} = (-1)^{i+j}\det(M_{ij}),
e M_{ij} é a matriz que sobra ao retirar linha i e coluna j de A. Os menores e cofatores são:
\begin{aligned} C_{11}&= +\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 2&1\end{pmatrix} = 1\cdot1-1\cdot2=-1,\\\ C_{12}&=-\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix} = -(1\cdot1-1\cdot0)=-1,\\\ C_{13}&= +\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&2\end{pmatrix} = 1\cdot2-1\cdot0=2,\\\ C_{21}&=-\det\begin{pmatrix}1&0\\\ 2&1\end{pmatrix} = -(1\cdot1-0\cdot2)=-1,\\\ C_{22}&= +\det\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix} = 1\cdot1-0\cdot0=1,\\\ C_{23}&=-\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&2\end{pmatrix} = -(1\cdot2-1\cdot0)=-2,\\\ C_{31}&= +\det\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\end{pmatrix} = 1\cdot1-0\cdot1=1,\\\ C_{32}&=-\det\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\end{pmatrix} = -(1\cdot1-0\cdot1)=-1,\\\ C_{33}&= +\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix} = 1\cdot1-1\cdot1=0. \end{aligned}

Passo 4

Formar a adjunta de A como a transposta da matriz de cofatores C:
\mathrm{adj}\,A = C^{T} = \begin{pmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31}\\\ C_{12} & C_{22} & C_{32}\\\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1\\\\ -1 & 1 & -1\\\\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Usar a fórmula da inversa:
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{adj}\,A = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1\\\\ -1 & 1 & -1\\\\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac12 & \tfrac12 & -\tfrac12\\\ \tfrac12 & -\tfrac12 & \tfrac12\\\\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

\det(A) = -2
\mathrm{adj}\,A = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1\\\\ -1 & 1 & -1\\\\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix},\qquad A^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac12 & \tfrac12 & -\tfrac12\\\ \tfrac12 & -\tfrac12 & \tfrac12\\\\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

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