Nos problemas 1 a 7 apresenta-se um conjunto com as operaçōes de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles sāo espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar os axiomas que não se verificam.
\mathbb{R}^{2},(a, b)+(c, d)=(a . b) \text { e } \alpha(a, b)=(\alpha a, \alpha b)

Passo 1

O conjunto é \mathbb{R}^2 com as operações
(a,b)+(c,d) = (a\cdot b)
e
\alpha\,(a,b) = (\alpha a,\;\alpha b).
Para ser espaço vetorial sobre \mathbb{R} precisamos satisfazer, entre outros, o axioma de fechamento da adição (isto é, a soma de dois vetores deve ser outro vetor em \mathbb{R}^2) e a existência do elemento neutro aditivo.

Passo 2

Verifiquemos o fechamento da adição: dado (a,b) e (c,d) em \mathbb{R}^2,
(a,b)+(c,d) = (a\cdot b)
é um número real, não um par ordenado em \mathbb{R}^2. Logo
(a,b)+(c,d)\notin\mathbb{R}^2
e o axioma de fechamento falha.

Passo 3

Como não há fechamento, não existe vetor neutro 0\in\mathbb{R}^2 tal que (a,b)+0=(a,b). Falham assim também os axiomas de existência do elemento neutro aditivo e de inversos aditivos.

Resposta

Este conjunto com essas operações não é espaço vetorial. Faltam, pelo menos, os seguintes axiomas:
  • fechamento da adição,
  • existência do elemento neutro aditivo,
  • existência de inversos aditivos.

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