Nos problemas 1 a 7 apresenta-se um conjunto com as operaçōes de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles sāo espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar os axiomas que não se verificam.
Passo 1
O conjunto é
com as operações
e
Para ser espaço vetorial sobre
precisamos satisfazer, entre outros, o axioma de fechamento da adição (isto é, a soma de dois vetores deve ser outro vetor em
) e a existência do elemento neutro aditivo.
Passo 2
Verifiquemos o fechamento da adição: dado
e
em
,
é um número real, não um par ordenado em
. Logo
e o axioma de fechamento falha.
Passo 3
Como não há fechamento, não existe vetor neutro
tal que
. Falham assim também os axiomas de existência do elemento neutro aditivo e de inversos aditivos.
Resposta
Este conjunto com essas operações não é espaço vetorial. Faltam, pelo menos, os seguintes axiomas:
- fechamento da adição,
- existência do elemento neutro aditivo,
- existência de inversos aditivos.