Sejam n \in \mathbb{N} e a \in \mathbb{R} com a \neq 0. Calcule uma expressão para a matriz p(A), onde
A=\left(\begin{array}{ll} 1 & a \\\ a & 1 \end{array}\right) \quad \text { e } \quad p(x)=2 x^{n}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
p(A)=2A^n
onde
A=\begin{pmatrix}1 & a \\[6pt] a & 1\end{pmatrix},\quad a\neq0,\;n\in\mathbb{N}.
O método mais direto é diagonalizar A, usar A^n = P\,D^n\,P^{-1} e finalmente multiplicar por 2.]

Passo 2

Determinamos autovalores de A. O traço é 2 e o determinante é 1-a^2, logo a equação característica é
\lambda^2 - 2\lambda + (1-a^2)=0,
cuja solução dá
\lambda_1 = 1+a,\qquad \lambda_2 = 1-a.
Vetores próprios correspondentes são, por exemplo,
\text{para }\lambda_1:\;v_1=(1,1)^\mathsf{T},\qquad \text{para }\lambda_2:\;v_2=(1,-1)^\mathsf{T}.
Assim A=PDP^{-1} com
P=\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&-1\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}1+a&0\\\ 0&1-a\end{pmatrix},\quad P^{-1}=\tfrac12\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&-1\end{pmatrix}.

Passo 3

Usando A^n = P\,D^n\,P^{-1} obtemos
A^n = \frac12 \begin{pmatrix} (1+a)^n+(1-a)^n & (1+a)^n-(1-a)^n\\[6pt] (1+a)^n-(1-a)^n & (1+a)^n+(1-a)^n \end{pmatrix}.]

Passo 4

Finalmente,
p(A)=2A^n =\begin{pmatrix} (1+a)^n+(1-a)^n & (1+a)^n-(1-a)^n\\[6pt] (1+a)^n-(1-a)^n & (1+a)^n+(1-a)^n \end{pmatrix}.]

Resposta

p(A) =\begin{pmatrix} (1+a)^n+(1-a)^n & (1+a)^n-(1-a)^n\\[6pt] (1+a)^n-(1-a)^n & (1+a)^n+(1-a)^n \end{pmatrix}.]

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