Encontre \operatorname{det}(A), adj A e A^{-1}, com
A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 2 \\\\ 3 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede o determinante de A, sua matriz adjunta (adjugada) e a inversa de A. Vamos usar o método dos cofatores para calcular \det(A), depois obter a matriz de cofatores, transpor para obter \operatorname{adj}(A) e, por fim, usar
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A).

Passo 2

Para calcular \det(A) aplicamos a regra de Sarrus em
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\\\ 3 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Temos
\det(A) =1\cdot1\cdot1 + 2\cdot0\cdot1 + 2\cdot3\cdot1 \;-\;\bigl(2\cdot1\cdot1 + 1\cdot0\cdot1 + 2\cdot3\cdot1\bigr) =1 + 0 + 6 - (2 + 0 + 6) = -1.

Passo 3

Agora calculamos os cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o determinante do menor que elimina a linha i e a coluna j.
Os cofatores são:
\begin{aligned} C_{11}&=+\,\det\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\end{pmatrix}=1, &C_{12}&=-\,\det\begin{pmatrix}3&0\\\ 1&1\end{pmatrix}=-3, &C_{13}&=+\,\det\begin{pmatrix}3&1\\\ 1&1\end{pmatrix}=2,\\\ C_{21}&=-\,\det\begin{pmatrix}2&2\\\ 1&1\end{pmatrix}=0, &C_{22}&=+\,\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 1&1\end{pmatrix}=-1, &C_{23}&=-\,\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 1&1\end{pmatrix}=1,\\\ C_{31}&=+\,\det\begin{pmatrix}2&2\\\ 1&0\end{pmatrix}=-2, &C_{32}&=-\,\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 3&0\end{pmatrix}=6, &C_{33}&=+\,\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 3&1\end{pmatrix}=-5. \end{aligned}
Assim a matriz de cofatores é
\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ -2 & 6 & -5 \end{pmatrix}.

Passo 4

A adjunta de A é a transposta da matriz de cofatores. Logo,
\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2\\\\ -3 & -1 & 6\\\\ 2 & 1 & -5 \end{pmatrix}.

Passo 5

Por fim, a inversa de A é
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A) = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2\\\\ -3 & -1 & 6\\\\ 2 & 1 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2\\\\ 3 & 1 & -6\\\\ -2 & -1 & 5 \end{pmatrix}.

Resposta

\det(A) = -1 \displaystyle \operatorname{adj}(A)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2\\\\ -3 & -1 & 6\\\\ 2 & 1 & -5 \end{pmatrix} \displaystyle A^{-1}= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2\\\\ 3 & 1 & -6\\\\ -2 & -1 & 5 \end{pmatrix}

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