Estude a posição relativa entre as retas r:\left\{\begin{array}{l}x=1-3 t \\\ y=-1+4 t\end{array}, t \in \mathbb{R}\right. e s:\left\{\begin{array}{l}x=2+4 t \\\ y=-1-3 t\end{array}, t \in \mathbb{R}\right.. Caso as retas r e s sejam concorrentes, calcule as bissetrizes das retas r e s.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a posição relativa entre as retas
r:\begin{cases} x = 1 - 3t\\\ y = -1 + 4t \end{cases},\;t\in\mathbb{R} \qquad s:\begin{cases} x = 2 + 4u\\\ y = -1 - 3u \end{cases},\;u\in\mathbb{R},
e, se elas se interceptam, calcular as bissetrizes do ângulo formado. O conteúdo aqui é geometria analítica no plano: vetor diretor, interseção de retas e equação das bissetrizes usando distâncias.

Passo 2

Calculamos os vetores diretores:
\vec v_r = (-3,4),\qquad \vec v_s = (4,-3).
Como \vec v_r não é múltiplo escalar de \vec v_s, as retas não são paralelas e, portanto, em \mathbb{R}^2 necessariamente se intersectam.

Passo 3

Para achar o ponto de interseção, igualamos
1 - 3t = 2 + 4u,\quad -1 + 4t = -1 - 3u.
Da segunda equação vem 4t + 3u = 0. Da primeira, 3t + 4u = -1. Resolvendo o sistema:
t = \frac{3}{7},\quad u = -\frac{4}{7}.
Substituindo em r, o ponto comum é
P\bigl(x,y\bigr) =\Bigl(1 - 3\cdot\frac{3}{7},\;-1 + 4\cdot\frac{3}{7}\Bigr) =\Bigl(-\tfrac{2}{7},\,\tfrac{5}{7}\Bigr).
Logo, as retas são concorrentes em P(-\tfrac{2}{7},\tfrac{5}{7}).

Passo 4

Para obter as bissetrizes precisamos das equações em forma geral
r:\;4x + 3y -1 = 0, \qquad s:\;3x + 4y -2 = 0.
(Nestas, usamos normais (4,3) e (3,4) ortogonais aos diretores de r e s, respectivamente, ajustando o termo constante para passar por P.)

Passo 5

As bissetrizes são o lugar geométrico dos pontos equidistantes de r e de s. Como ambos os normais têm comprimento \sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5, basta igualar
\bigl|4x+3y-1\bigr| \;=\;\bigl|3x+4y-2\bigr|.
Isto gera dois casos:
Caso “+”:
4x+3y-1 = 3x+4y-2 \;\Longrightarrow\; x - y +1 = 0.
Caso “–”:
4x+3y-1 = -(3x+4y-2) \;\Longrightarrow\; 7x +7y -3 = 0 \;\Longrightarrow\; x + y - \tfrac{3}{7} = 0.

Resposta

As retas r e s são concorrentes em P\bigl(-\tfrac{2}{7},\tfrac{5}{7}\bigr).
As bissetrizes do ângulo formado são dadas por
\boxed{x - y +1 = 0, \quad x + y - \tfrac{3}{7}=0.}

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