Encontre \operatorname{det}(A), e A^{-1} caso exista), com
A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 2 \\\\ 3 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede o determinante e, se existir, a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\\\ 3 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo é cálculo de determinante de 3\times3 e, em seguida, obtenção de A^{-1} via matriz dos cofatores (ou método adjunto), que exige que \det(A)\neq0.

Passo 2

Vamos calcular \det(A) usando a regra de Sarrus. Denotando por a_{ij} o elemento da linha i e coluna j, temos:
\begin{aligned} \det(A) &=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\\\ &\quad -\bigl(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}\bigr)\\\ &=1\cdot1\cdot1+2\cdot0\cdot1+2\cdot3\cdot1\\\ &\quad -\bigl(2\cdot1\cdot1+1\cdot0\cdot1+2\cdot3\cdot1\bigr)\\\ &=1+0+6-(2+0+6)=7-8=-1. \end{aligned}

Passo 3

Como \det(A)=-1\neq0, concluímos que A é invertível. Para achar A^{-1} usamos a fórmula
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a matriz adjunta (transposta da matriz de cofatores).

Passo 4

Calculamos cada cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o determinante do menor obtido ao riscar a linha i e a coluna j. Os resultados são:
\bigl(C_{ij}\bigr)= \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ -2 & 6 & -5 \end{pmatrix}.
Então
\operatorname{adj}(A)=\bigl(C_{ij}\bigr)^{T} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2\\\\ -3 & -1 & 6\\\\ 2 & 1 & -5 \end{pmatrix}.

Passo 5

Substituindo em A^{-1}=(1/\det(A))\,\operatorname{adj}(A) e lembrando \det(A)=-1, vem
A^{-1} = -1 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2\\\\ -3 & -1 & 6\\\\ 2 & 1 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2\\\\ 3 & 1 & -6\\\\ -2 & -1 & 5 \end{pmatrix}.

Resposta

\displaystyle \det(A)=-1
A^{-1}= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2\\\\ 3 & 1 & -6\\\\ -2 & -1 & 5 \end{pmatrix}.

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