Encontre \operatorname{det}(A), e A^{-1} caso exista), com
A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede o determinante \det(A) e, caso exista, a inversa A^{-1} da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo envolve cálculo de determinante e aplicação da matriz adjunta (ou cofatores) para obter a inversa.

Passo 2

Para calcular \det(A), expandimos pela primeira linha:
\det(A) = 1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 2 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 1\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Agora,
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 2 & 1\end{pmatrix} =1\cdot1 - 1\cdot2 = -1, \quad \det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 1\end{pmatrix} =1\cdot1 - 1\cdot0 = 1.
Logo,
\det(A) = 1\cdot(-1) - 1\cdot1 = -1 - 1 = -2.

Passo 3

Como \det(A) = -2 \neq 0, a matriz A é invertível.

Passo 4

Para obter A^{-1}, usamos
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\bigl(\operatorname{adj}(A)\bigr),
onde \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz de cofatores de A. Calculando os cofatores:
C = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 2\\\\ -1 & 1 & -2\\\\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix},
então
\operatorname{adj}(A) = C^{T} = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1\\\\ -1 & 1 & -1\\\\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix}.
Assim,
A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1\\\\ -1 & 1 & -1\\\\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac12 & \tfrac12 & -\tfrac12\\\ \tfrac12 & -\tfrac12 & \tfrac12\\\\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

\det(A) = -2
A^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac12 & \tfrac12 & -\tfrac12\\\ \tfrac12 & -\tfrac12 & \tfrac12\\\\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados