Suponha que A seja uma matriz quadrada. Mostre que
A-A^{T} é antissimétrica.

Passo 1

Vamos provar que, para qualquer matriz quadrada A, a matriz A - A^{T} satisfaz a condição de antissimetria. O conteúdo da matéria aqui é a definição de matriz antissimétrica e as propriedades da operação de transposição.

Passo 2

Lembrando a definição: uma matriz M é antissimétrica se, e somente se,
M^{T} = -M.

Passo 3

Calculemos a transposta de A - A^{T}. Usando a linearidade da transposição, temos
(A - A^{T})^{T} = A^{T} - (A^{T})^{T}.

Passo 4

Sabemos também que a transposta da transposta retorna a matriz original, ou seja,
(A^{T})^{T} = A.
Substituindo na expressão anterior, obtemos
(A - A^{T})^{T} = A^{T} - A = -(A - A^{T}).

Passo 5

A igualdade
(A - A^{T})^{T} = -(A - A^{T})
é exatamente a condição que define uma matriz antissimétrica. Logo, A - A^{T} é antissimétrica.

Resposta

A matriz A - A^{T} é antissimétrica.

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