Suponha que
seja uma matriz quadrada. Mostre que
é antissimétrica.
Passo 1
Vamos provar que, para qualquer matriz quadrada
, a matriz
satisfaz a condição de antissimetria. O conteúdo da matéria aqui é a definição de matriz antissimétrica e as propriedades da operação de transposição.
Passo 2
Lembrando a definição: uma matriz
é antissimétrica se, e somente se,
Passo 3
Calculemos a transposta de
. Usando a linearidade da transposição, temos
Passo 4
Sabemos também que a transposta da transposta retorna a matriz original, ou seja,
Substituindo na expressão anterior, obtemos
Passo 5
A igualdade
é exatamente a condição que define uma matriz antissimétrica. Logo,
é antissimétrica.
Resposta
A matriz
é antissimétrica.