Encontre a ordem e determine qual das seguintes equações diferenciais são lineares e quais de elas são homogêneas?
u^{\prime \prime}=t^{2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a equação diferencial dada:
  • Encontrar a ordem da equação.
  • Determinar se a equação é linear ou não e se é homogênea ou não.
A equação fornecida é
u'' = t^{2}.
Isto é tudo o que temos: a dependência é em t e a incógnita é u(t).

Passo 2

O que significa “ordem” de uma equação diferencial?
  • A ordem é o maior índice de derivada da incógnita que aparece na equação.
  • Por exemplo, se aparece u^{(3)} (terceira derivada) e nenhuma derivada de ordem maior, a equação é de terceira ordem.
Na equação dada aparece u'', que é a segunda derivada. Não aparecem derivadas de ordem maior. Portanto a ordem é
\text{ordem} = 2.

Passo 3

O que é uma equação diferencial linear?
  • Uma equação diferencial de ordem n é linear se pode ser escrita na forma
a_n(t)\,u^{(n)} + a_{n-1}(t)\,u^{(n-1)} + \cdots + a_1(t)\,u' + a_0(t)\,u = g(t),
onde os coeficientes a_i(t) e o termo g(t) dependem apenas da variável independente t, e não dependem de u nem de suas derivadas de maneira não linear (ou seja, não aparecem termos como u^2, \sin(u), u\,u', etc.). A operador associado L[u]=a_n u^{(n)}+\cdots+a_0 u é linear no sentido que L[au+bv]=aL[u]+bL[v].
Agora compare com a equação dada. Podemos escrevê-la como
1\cdot u'' + 0\cdot u' + 0\cdot u = t^{2}.
Aqui a_2(t)=1, a_1(t)=0, a_0(t)=0 e g(t)=t^{2}. Os coeficientes dependem apenas de t, e u e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (apenas u'' com coeficiente constante). Logo a equação é linear.

Passo 4

O que significa “homogênea” no contexto de equações lineares?
  • Uma equação linear é dita homogênea quando o termo forçante g(t) é zero para todo t. Ou seja,
a_n(t)\,u^{(n)} + \cdots + a_0(t)\,u = 0
é a forma homogênea. Se g(t)\neq 0 então a equação é não-homogênea (ou inhomogênea).
No nosso caso temos g(t)=t^{2}, que não é identicamente zero. Portanto a equação é não-homogênea (não homogênea).

Passo 5

Para fixar a ideia, vou mostrar rapidamente a solução geral (isso também explica a decomposição em parte homogênea + particular que é típica de equações lineares não-homogêneas).
  • Integrando uma vez \,u''=t^{2}\, obtemos
u' = \int t^{2}\,dt = \frac{t^{3}}{3} + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração.
  • Integrando de novo,
u = \int \left(\frac{t^{3}}{3} + C_{1}\right) dt = \frac{t^{4}}{12} + C_{1}t + C_{2},
com constante C_{2}.
Escrevendo a solução como soma de uma solução particular e da solução geral da homogênea: a solução particular é \displaystyle u_{p}(t)=\frac{t^{4}}{12} e a solução da equação homogênea associada u''=0 é \displaystyle u_{h}(t)=C_{1}t+C_{2}. Isso ilustra a diferença entre homogênea e não-homogênea.

Resposta

Ordem: 2
Linear: sim (é linear)
Homogênea: não (é não-homogênea)

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