Encontre a ordem e determine qual das seguintes equações diferenciais são lineares e quais de elas são homogêneas?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a equação diferencial dada:
- Encontrar a ordem da equação.
- Determinar se a equação é linear ou não e se é homogênea ou não.
A equação fornecida é
Isto é tudo o que temos: a dependência é em
e a incógnita é
.
Passo 2
O que significa “ordem” de uma equação diferencial?
- A ordem é o maior índice de derivada da incógnita que aparece na equação.
- Por exemplo, se aparece
(terceira derivada) e nenhuma derivada de ordem maior, a equação é de terceira ordem.
Na equação dada aparece
, que é a segunda derivada. Não aparecem derivadas de ordem maior. Portanto a ordem é
Passo 3
O que é uma equação diferencial linear?
- Uma equação diferencial de ordem
é linear se pode ser escrita na forma
onde os coeficientes
e o termo
dependem apenas da variável independente
, e não dependem de
nem de suas derivadas de maneira não linear (ou seja, não aparecem termos como
,
,
, etc.). A operador associado
é linear no sentido que
.
Agora compare com a equação dada. Podemos escrevê-la como
Aqui
,
,
e
. Os coeficientes dependem apenas de
, e
e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (apenas
com coeficiente constante). Logo a equação é linear.
Passo 4
O que significa “homogênea” no contexto de equações lineares?
- Uma equação linear é dita homogênea quando o termo forçante
é zero para todo . Ou seja,
é a forma homogênea. Se
então a equação é não-homogênea (ou inhomogênea).
No nosso caso temos
, que não é identicamente zero. Portanto a equação é não-homogênea (não homogênea).
Passo 5
Para fixar a ideia, vou mostrar rapidamente a solução geral (isso também explica a decomposição em parte homogênea + particular que é típica de equações lineares não-homogêneas).
- Integrando uma vez
obtemos
onde
é constante de integração.
- Integrando de novo,
com constante
.
Escrevendo a solução como soma de uma solução particular e da solução geral da homogênea: a solução particular é
e a solução da equação homogênea associada
é
. Isso ilustra a diferença entre homogênea e não-homogênea.
Resposta
Ordem:
Linear: sim (é linear)
Homogênea: não (é não-homogênea)
Linear: sim (é linear)
Homogênea: não (é não-homogênea)