Encontre a ordem e determine qual das seguintes equações diferenciais são lineares e quais de elas são homogêneas?
\quad \operatorname{sen} u^{\prime}=u

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\sin\bigl(u'\bigr)=u
e pede duas coisas:
  • encontrar a ordem da equação;
  • determinar se a equação é linear ou não e se é homogênea ou não.
Informações relevantes fornecidas:
  • aparece apenas a derivada primeira u' (derivada em relação à variável independente, por exemplo x);
  • a função trigonométrica \sin(\cdot) atua sobre u';
  • o membro direito é u (a própria função desconhecida).

Passo 2

Definição de ordem e aplicação: a ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas da incógnita que aparece na equação. Aqui o maior índice de derivada presente é a primeira derivada u'. Portanto a ordem é
\text{ordem} = 1.

Passo 3

O que significa ser linear? Uma equação diferencial de ordem n é linear se pode ser escrita na forma
a_n(x)\,u^{(n)}+a_{n-1}(x)\,u^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)\,u'+a_0(x)\,u = g(x),
onde os coeficientes a_i(x) e o termo independente g(x) dependem só da variável independente (por exemplo x), não de u nem de suas derivadas. A característica chave é que u e suas derivadas aparecem apenas com coeficientes multiplicativos (aparecem linearmente), sem funções não-lineares aplicadas a eles (sem potências, produtos entre u e u', sen, cos, etc., sobre u ou u').
Aplicando ao caso: a equação pode ser escrita como
\sin\bigl(u'\bigr)-u=0.
O termo \sin\bigl(u'\bigr) envolve uma função não linear (a função seno) aplicada à derivada u'. Isso viola a forma linear porque não é possível escrever \sin(u') como um coeficiente multiplicando u' (isto é, não existe a_1(x) tal que \sin(u')=a_1(x)\,u' para todo u). Outra forma de ver: a propriedade de superposição falha — se u_1 e u_2 fossem soluções, a soma u_1+u_2 normalmente não satisfaria a equação porque
\sin\bigl((u_1+u_2)'\bigr)=\sin\bigl(u_1'+u_2'\bigr)\neq \sin(u_1')+\sin(u_2').
Logo a equação não é linear.

Passo 4

O que significa ser homogênea? No contexto padrão de equações diferenciais, diz-se que uma equação linear é homogênea quando o termo independente é zero, isto é, quando pode ser escrita como
a_n(x)\,u^{(n)}+\cdots+a_0(x)\,u=0.
Como já concluímos que a equação dada não é linear, a classificação “homogênea” no sentido de equação linear homogênea não se aplica: não é uma equação linear homogênea. Podemos notar que a equação pode ser colocada na forma \sin(u')-u=0, mas isso não a transforma numa equação linear homogênea porque o termo \sin(u') permanece não linear. (Existem outros sentidos da palavra “homogênea” para certos tipos de equações de primeira ordem, mas esses não se aplicam diretamente aqui.)
Portanto, a equação não é homogênea no sentido usual de “equação linear homogênea”.

Passo 5

Resumo didático rápido para a prova (memorização amiga):
  • Procure o maior índice de derivada para achar a ordem.
  • Para testar linearidade, veja se u e suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções da variável independente; presença de \sin(u'), u^2, u\,u', etc., indica não linearidade.
  • “Homogênea” costuma significar “linear com termo independente zero”; se a equação não é linear, não é homogênea nesse sentido.

Resposta

Ordem: 1
Linear: não (é não linear, porque aparece \sin(u'))
Homogênea: não (não é uma equação linear homogênea)

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