Encontre a ordem e determine qual das seguintes equações diferenciais são lineares e quais de elas são homogêneas?
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas:
- encontrar a ordem da equação;
- determinar se a equação é linear ou não e se é homogênea ou não.
Informações relevantes fornecidas:
- aparece apenas a derivada primeira
(derivada em relação à variável independente, por exemplo ); - a função trigonométrica
atua sobre ; - o membro direito é
(a própria função desconhecida).
Passo 2
Definição de ordem e aplicação: a ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas da incógnita que aparece na equação. Aqui o maior índice de derivada presente é a primeira derivada
. Portanto a ordem é
Passo 3
O que significa ser linear? Uma equação diferencial de ordem
é linear se pode ser escrita na forma
onde os coeficientes
e o termo independente
dependem só da variável independente (por exemplo
), não de
nem de suas derivadas. A característica chave é que
e suas derivadas aparecem apenas com coeficientes multiplicativos (aparecem linearmente), sem funções não-lineares aplicadas a eles (sem potências, produtos entre
e
, sen, cos, etc., sobre
ou
).
Aplicando ao caso: a equação pode ser escrita como
O termo
envolve uma função não linear (a função seno) aplicada à derivada
. Isso viola a forma linear porque não é possível escrever
como um coeficiente multiplicando
(isto é, não existe
tal que
para todo
). Outra forma de ver: a propriedade de superposição falha — se
e
fossem soluções, a soma
normalmente não satisfaria a equação porque
Logo a equação não é linear.
Passo 4
O que significa ser homogênea? No contexto padrão de equações diferenciais, diz-se que uma equação linear é homogênea quando o termo independente é zero, isto é, quando pode ser escrita como
Como já concluímos que a equação dada não é linear, a classificação “homogênea” no sentido de equação linear homogênea não se aplica: não é uma equação linear homogênea. Podemos notar que a equação pode ser colocada na forma
, mas isso não a transforma numa equação linear homogênea porque o termo
permanece não linear. (Existem outros sentidos da palavra “homogênea” para certos tipos de equações de primeira ordem, mas esses não se aplicam diretamente aqui.)
Portanto, a equação não é homogênea no sentido usual de “equação linear homogênea”.
Passo 5
Resumo didático rápido para a prova (memorização amiga):
- Procure o maior índice de derivada para achar a ordem.
- Para testar linearidade, veja se
e suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções da variável independente; presença de , , , etc., indica não linearidade. - “Homogênea” costuma significar “linear com termo independente zero”; se a equação não é linear, não é homogênea nesse sentido.
Resposta
Ordem:
Linear: não (é não linear, porque aparece )
Homogênea: não (não é uma equação linear homogênea)
Linear: não (é não linear, porque aparece
Homogênea: não (não é uma equação linear homogênea)