Encontre a ordem e determine qual das seguintes equações diferenciais são lineares e quais de elas são homogêneas?
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas:
- determinar a ordem da equação;
- dizer se a equação é linear e se é homogênea.
As informações relevantes que temos são apenas a própria equação
.
Passo 2
O que é “ordem” de uma equação diferencial e como identificá-la na prática.
- Definição: a ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada da função incógnita que aparece na equação.
- Como identificar: basta olhar os termos e localizar a derivada de maior ordem.
Aplicando isso aqui: na equação
a maior derivada que aparece é a derivada segunda
. Portanto a ordem é
Passo 3
O que significa uma equação ser linear.
- Definição (intuitiva): uma equação diferencial é linear quando a incógnita
e todas as suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções conhecidas (ou constantes) e nunca em produtos entre si, nem dentro de funções não lineares (como , , , etc.). - Forma padrão de uma equação linear de ordem
: existe um operador linear que pode ser escrito como
onde as
e
são funções conhecidas (não dependem de
).
Para testar: escreva a equação na forma padrão. Da equação dada:
podemos reescrever como
Aqui os coeficientes das derivadas são constantes (
para
e
para
) e não há termos como
ou
. Logo cada termo é linear em
e suas derivadas. Portanto a equação é linear.
Passo 4
O que significa uma equação linear ser homogênea.
- Definição: uma equação linear é dita homogênea quando a função do lado direito na forma padrão é zero, ou seja, quando
na representação
- Consequência prática: se for homogênea, a soma linear de soluções também é solução (princípio da superposição).
Na nossa forma reescrita
temos exatamente
. Portanto a equação é homogênea.
Passo 5
Verificação rápida da propriedade de homogeneidade (superposição) só para ver na prática como funciona.
Defina o operador linear
Se
e
são soluções, então
e
. Para quaisquer constantes
temos
ou seja,
também é solução — característica de equações lineares homogêneas.
Passo 6
Recapitulando e respondendo de forma direta e curta (para checar rapidamente na prova):
- a ordem é
; - a equação é linear (porque pode ser escrita como combinação linear de
e suas derivadas); - a equação é homogênea (porque o lado direito é zero).
Resposta
Ordem:
Linear: sim
Homogênea: sim
Linear: sim
Homogênea: sim