Encontre a ordem e determine qual das seguintes equações diferenciais são lineares e quais de elas são homogêneas?
u^{\prime \prime}=u

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
u'' = u
e pede duas coisas:
  • determinar a ordem da equação;
  • dizer se a equação é linear e se é homogênea.
As informações relevantes que temos são apenas a própria equação \,u''=u\,.

Passo 2

O que é “ordem” de uma equação diferencial e como identificá-la na prática.
  • Definição: a ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada da função incógnita que aparece na equação.
  • Como identificar: basta olhar os termos e localizar a derivada de maior ordem.
Aplicando isso aqui: na equação \,u''=u\, a maior derivada que aparece é a derivada segunda u''. Portanto a ordem é
\text{ordem} = 2.

Passo 3

O que significa uma equação ser linear.
  • Definição (intuitiva): uma equação diferencial é linear quando a incógnita u e todas as suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções conhecidas (ou constantes) e nunca em produtos entre si, nem dentro de funções não lineares (como u^2, \sin(u), u\,u', etc.).
  • Forma padrão de uma equação linear de ordem n: existe um operador linear que pode ser escrito como
a_n(x)\,u^{(n)} + a_{n-1}(x)\,u^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)\,u' + a_0(x)\,u = g(x),
onde as a_i(x) e g(x) são funções conhecidas (não dependem de u).
Para testar: escreva a equação na forma padrão. Da equação dada:
u'' = u
podemos reescrever como
u'' - u = 0.
Aqui os coeficientes das derivadas são constantes ( 1 para u'' e -1 para u) e não há termos como u^2 ou u\,u'. Logo cada termo é linear em u e suas derivadas. Portanto a equação é linear.

Passo 4

O que significa uma equação linear ser homogênea.
  • Definição: uma equação linear é dita homogênea quando a função do lado direito na forma padrão é zero, ou seja, quando g(x)=0 na representação
a_n(x)\,u^{(n)} + \cdots + a_0(x)\,u = g(x).
  • Consequência prática: se for homogênea, a soma linear de soluções também é solução (princípio da superposição).
Na nossa forma reescrita \,u''-u=0\, temos exatamente g(x)=0. Portanto a equação é homogênea.

Passo 5

Verificação rápida da propriedade de homogeneidade (superposição) só para ver na prática como funciona.
Defina o operador linear
L(u) = u'' - u.
Se u_1 e u_2 são soluções, então L(u_1)=0 e L(u_2)=0. Para quaisquer constantes c_1,c_2 temos
L(c_1 u_1 + c_2 u_2) = c_1 L(u_1) + c_2 L(u_2) = c_1\cdot 0 + c_2\cdot 0 = 0,
ou seja, c_1 u_1 + c_2 u_2 também é solução — característica de equações lineares homogêneas.

Passo 6

Recapitulando e respondendo de forma direta e curta (para checar rapidamente na prova):
  • a ordem é 2;
  • a equação é linear (porque pode ser escrita como combinação linear de u e suas derivadas);
  • a equação é homogênea (porque o lado direito é zero).

Resposta

Ordem: 2
Linear: sim
Homogênea: sim

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