Encontre a ordem e determine qual das seguintes equações diferenciais são lineares e quais de elas são homogêneas?
\left(u^{2}\right)^{\prime}=-u+1

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
\left(u^{2}\right)^{\prime} = -u + 1
O que é pedido:
  • Encontrar a ordem da equação.
  • Determinar se a equação é linear ou não.
  • Determinar se a equação é homogênea (explicitar o sentido de “homogênea” que for relevante).
Informações relevantes dadas: a única informação é a própria equação, que envolve a função u (função da variável independente, que chamaremos implicitamente de x) e a sua derivada (aparecendo através de \left(u^{2}\right)').

Passo 2

Entender a expressão à esquerda: calcular explicitamente o derivado de u^{2}. Usamos a regra do produto / regra da cadeia para derivadas.
Se u = u(x), então
\left(u^{2}\right)' = 2u\,u'.
Aqui u'=\dfrac{du}{dx}. Substituindo na equação dada obtemos a forma equivalente
2u\,u' = -u + 1.

Passo 3

Definição e determinação da ordem. A ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas da função desconhecida que aparece nela. Na forma encontrada \,2u\,u' = -u + 1, a derivada de ordem mais alta que aparece é u', que é a derivada de primeira ordem.
Logo a ordem da equação é 1.

Passo 4

Definição e teste de linearidade. Uma equação diferencial de ordem n é linear se puder ser escrita na forma
a_n(x) u^{(n)} + a_{n-1}(x) u^{(n-1)} + \cdots + a_1(x) u' + a_0(x) u = g(x),
onde os coeficientes a_i(x) dependem apenas da variável independente (ex.: x) e NÃO dependem de u nem de derivadas de u. Em particular, para ordem 1 a forma linear é
a_1(x) u' + a_0(x) u = g(x),
com a_1,a_0,g funções somente de x.
Na nossa equação temos 2u\,u' = -u + 1. Podemos rearranjar como
2u\,u' + u - 1 = 0.
Observe que o coeficiente de u' é 2u, que depende da própria função desconhecida u. Isso viola a condição de linearidade (os coeficientes não podem depender de u). Outra forma de ver: isolando u',
u' = -\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2u},
aparecem termos do tipo 1/u, dependentes de u de forma não linear. Portanto a equação é não linear.

Passo 5

O que significa “homogênea” e aplicação ao caso.
Existem duas noções comuns de “homogênea” em equações diferenciais; é importante explicá-las:
  1. “Homogênea” no sentido de equação linear homogênea: uma equação linear é chamada homogênea quando o termo independente g(x) é zero, isto é, quando a equação pode ser posta como
a_n(x) u^{(n)} + \cdots + a_0(x) u = 0.
Esta noção só faz sentido se a equação for linear.
  1. “Equação homogênea de primeira ordem” (tipo dy/dx = F(y/x)): para primeiras ordens, às vezes chamamos de homogênea a equação cujo membro direito é função apenas da razão u/x (ou, mais geralmente, uma função homogênea de certo grau). Há também a noção de equação autônoma, quando o membro direito depende só de u (não depende explicitamente de x).
Aplicando ao nosso caso:
  • Como já concluímos que a equação é não linear, a noção (1) de “homogeneidade linear” não se aplica (não é uma equação linear, logo não é uma equação linear homogênea).
  • Verificando a noção (2): escrevemos u' explicitamente: u' = -\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2u}.O membro direito depende apenas de u (não aparece x), portanto a equação é autônoma. Porém ela NÃO é da forma u' = F(u/x), então não é “homogênea” no sentido clássico de primeira-ordem F(u/x). Assim, sob a segunda interpretação comum, a equação também não é homogênea.
Conclusão sobre homogeneidade: não é homogênea no sentido de equação linear homogênea (porque não é linear) e também não é homogênea no sentido u' = F(u/x). Pode-se notar apenas que é autônoma (dependência só de u).

Resposta

Ordem: 1
Linearidade: não linear (não é linear)
Homogeneidade: não é homogênea (não é linear homogênea; também não é homogênea no sentido u' = F(u/x); é, sim, uma equação autônoma)

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