Encontre a ordem e determine qual das seguintes equações diferenciais são lineares e quais de elas são homogêneas?
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
O que é pedido:
- Encontrar a ordem da equação.
- Determinar se a equação é linear ou não.
- Determinar se a equação é homogênea (explicitar o sentido de “homogênea” que for relevante).
Informações relevantes dadas: a única informação é a própria equação, que envolve a função
(função da variável independente, que chamaremos implicitamente de
) e a sua derivada (aparecendo através de
).
Passo 2
Entender a expressão à esquerda: calcular explicitamente o derivado de
. Usamos a regra do produto / regra da cadeia para derivadas.
Se
, então
Aqui
. Substituindo na equação dada obtemos a forma equivalente
Passo 3
Definição e determinação da ordem. A ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas da função desconhecida que aparece nela. Na forma encontrada
, a derivada de ordem mais alta que aparece é
, que é a derivada de primeira ordem.
Logo a ordem da equação é
.
Passo 4
Definição e teste de linearidade. Uma equação diferencial de ordem
é linear se puder ser escrita na forma
onde os coeficientes
dependem apenas da variável independente (ex.:
) e NÃO dependem de
nem de derivadas de
. Em particular, para ordem 1 a forma linear é
com
funções somente de
.
Na nossa equação temos
. Podemos rearranjar como
Observe que o coeficiente de
é
, que depende da própria função desconhecida
. Isso viola a condição de linearidade (os coeficientes não podem depender de
). Outra forma de ver: isolando
,
aparecem termos do tipo
, dependentes de
de forma não linear. Portanto a equação é não linear.
Passo 5
O que significa “homogênea” e aplicação ao caso.
Existem duas noções comuns de “homogênea” em equações diferenciais; é importante explicá-las:
- “Homogênea” no sentido de equação linear homogênea: uma equação linear é chamada homogênea quando o termo independente
é zero, isto é, quando a equação pode ser posta como
Esta noção só faz sentido se a equação for linear.
- “Equação homogênea de primeira ordem” (tipo
): para primeiras ordens, às vezes chamamos de homogênea a equação cujo membro direito é função apenas da razão (ou, mais geralmente, uma função homogênea de certo grau). Há também a noção de equação autônoma, quando o membro direito depende só de (não depende explicitamente de ).
Aplicando ao nosso caso:
- Como já concluímos que a equação é não linear, a noção (1) de “homogeneidade linear” não se aplica (não é uma equação linear, logo não é uma equação linear homogênea).
- Verificando a noção (2): escrevemos
explicitamente: O membro direito depende apenas de (não aparece ), portanto a equação é autônoma. Porém ela NÃO é da forma , então não é “homogênea” no sentido clássico de primeira-ordem . Assim, sob a segunda interpretação comum, a equação também não é homogênea.
Conclusão sobre homogeneidade: não é homogênea no sentido de equação linear homogênea (porque não é linear) e também não é homogênea no sentido
. Pode-se notar apenas que é autônoma (dependência só de
).
Resposta
Ordem:
Linearidade: não linear (não é linear)
Homogeneidade: não é homogênea (não é linear homogênea; também não é homogênea no sentido ; é, sim, uma equação autônoma)
Linearidade: não linear (não é linear)
Homogeneidade: não é homogênea (não é linear homogênea; também não é homogênea no sentido