Encontre a família de soluções de cada equação diferencial,
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a família de soluções da equação diferencial
Informações dadas:
- A incógnita é a função
de variável . - Está dado que a derivada de
em relação a vale . - Não foi dada condição inicial, então espera-se a família geral de soluções (com constante arbitrária).
Passo 2
Entendendo a notação e a estratégia (sem pular passos):
significa
, ou seja a derivada de
em relação a
. A equação diz que a taxa de variação de
é uma função conhecida de
. Uma forma direta de resolver é usar a propriedade inversa da derivada: se
então
onde
é a constante de integração. Aqui
. Vamos portanto calcular a primitiva de
.
Passo 3
Regra que vamos usar (com explicação): a regra da potência para integrais diz que, para um número real
,
Também sabemos que a integral de uma soma é a soma das integrais e que constantes saem da integral:
Passo 4
Calcule cada integral separadamente:
pois a primitiva de uma constante
é
.
aplicando a regra da potência com
.
Somando (podemos agrupar as constantes
e
numa única constante
):
onde
é a constante de integração que descreve a família de soluções.
Passo 5
Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando
obtemos
porque
,
e
. Isso confirma que a solução está correta.