Encontre a família de soluções de cada equação diferencial,
u^{\prime}=2+t^{2}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a família de soluções da equação diferencial
u' = 2 + t^{2}.
Informações dadas:
  • A incógnita é a função u de variável t.
  • Está dado que a derivada de u em relação a t vale 2 + t^{2}.
  • Não foi dada condição inicial, então espera-se a família geral de soluções (com constante arbitrária).

Passo 2

Entendendo a notação e a estratégia (sem pular passos): u' significa \dfrac{du}{dt}, ou seja a derivada de u(t) em relação a t. A equação diz que a taxa de variação de u é uma função conhecida de t. Uma forma direta de resolver é usar a propriedade inversa da derivada: se
\frac{du}{dt}=f(t),
então
u(t)=\int f(t)\,dt + C,
onde C é a constante de integração. Aqui f(t)=2+t^{2}. Vamos portanto calcular a primitiva de 2+t^{2}.

Passo 3

Regra que vamos usar (com explicação): a regra da potência para integrais diz que, para um número real n\neq-1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Também sabemos que a integral de uma soma é a soma das integrais e que constantes saem da integral:
\int (2+t^{2})\,dt = \int 2\,dt + \int t^{2}\,dt.

Passo 4

Calcule cada integral separadamente:
\int 2\,dt = 2t + C_{1},
pois a primitiva de uma constante a é at.
\int t^{2}\,dt = \frac{t^{3}}{3} + C_{2},
aplicando a regra da potência com n=2.
Somando (podemos agrupar as constantes C_{1} e C_{2} numa única constante C):
u(t)=2t + \frac{t^{3}}{3} + C,
onde C\in\mathbb{R} é a constante de integração que descreve a família de soluções.

Passo 5

Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando u(t)=2t+\dfrac{t^{3}}{3}+C obtemos
u'(t)=2 + t^{2},
porque \dfrac{d}{dt}(2t)=2, \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{t^{3}}{3}\right)=t^{2} e \dfrac{d}{dt}C=0. Isso confirma que a solução está correta.

Resposta

u(t)=2t+\frac{t^{3}}{3}+C,\quad C\in\mathbb{R}

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