Encontre a ordem e determine qual das seguintes equações diferenciais são lineares e quais de elas são homogêneas?
u^{\prime \prime}-2 u^{\prime}+u=\cos (t)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
u''-2u'+u=\cos(t)
e pede que eu:
  • encontre a ordem da equação;
  • determine se a equação é linear ou não;
  • determine se a equação é homogênea ou não.
Informações importantes dadas: a equação envolve u, suas derivadas u' e u'' e o termo do lado direito \cos(t).

Passo 2

O que é “ordem” e como achar aqui.
  • Definição: a ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior grau que aparece na equação.
  • Na equação fornecida aparece u'' (derivada segunda de u), u' (derivada primeira) e u (função). A derivada de maior ordem é a segunda derivada u''.
Portanto a ordem da equação é 2.

Passo 3

O que significa uma equação ser linear e como verificar.
  • Definição (intuição): uma equação diferencial é linear se a função incógnita u e suas derivadas aparecem apenas em termos que são proporcionais a elas (multiplicadas por funções conhecidas de t ou por constantes) e não aparecem termos como u^2, \sin(u), u\,u', etc. Em outras palavras, não pode haver produtos ou funções não lineares de u ou de suas derivadas.
  • Forma geral de uma EDO linear de segunda ordem (com coeficientes que podem depender de t):
a_2(t)\,u'' + a_1(t)\,u' + a_0(t)\,u = g(t),
onde a_2,a_1,a_0,g são funções conhecidas de t. Essa forma é linear porque a transformação u\mapsto a u_1 + b u_2 preserva a equação (propriedade de superposição para o operador linear).
Verificação na equação dada:
u''-2u'+u=\cos(t)
pode ser escrita como
1\cdot u'' + (-2)\cdot u' + 1\cdot u = \cos(t),
ou seja a_2(t)=1, a_1(t)=-2, a_0(t)=1. Não há termos como u^2, u\cdot u' ou \sin(u). Além disso, o operador linear L definido por
L[u]=u''-2u'+u
satisfaz L[a u_1 + b u_2] = aL[u_1] + bL[u_2] (pode-se verificar calculando as derivadas e distribuindo as constantes).
Logo, a equação é linear.

Passo 4

O que significa “homogênea” e testar aqui.
  • Para equações diferenciais lineares, diz-se que a equação é homogênea quando o termo do lado direito é zero, isto é:
a_2(t)\,u'' + a_1(t)\,u' + a_0(t)\,u = 0.
  • Se o lado direito é uma função não nula g(t)\neq 0 a equação é chamada de não-homogênea (ou forçada).
Na equação dada o lado direito é \cos(t), que não é a função zero (ou seja, \cos(t) não é identicamente zero). Portanto a equação é não-homogênea.

Passo 5

Resumo prático e uma observação útil para prova (como isso influencia a solução).
  • Conclusão prática: a equação é de segunda ordem, linear e não-homogênea.
  • Observação sobre soluções (útil em prova): para uma EDO linear não-homogênea a solução geral é soma da solução geral da equação homogênea associada L[u]=0 (chamada solução complementar u_c) e de uma solução particular u_p da equação completa. Ou seja
u(t)=u_c(t)+u_p(t).
No caso desta equação, a equação homogênea associada é
u''-2u'+u=0,
cuja equação característica é r^2-2r+1=0 com raiz dupla r=1, de onde
u_c(t)=(C_1 + C_2 t)e^{t}.
Para encontrar uma solução particular para o lado direito \cos(t) pode-se tentar u_p(t)=A\cos t+B\sin t. Substituindo e igualando coeficientes encontra-se A=0, B=-\tfrac{1}{2}, logo
u_p(t)=-\tfrac{1}{2}\sin t.
Assim a solução geral desta equação (apenas como comentário extra útil) é
u(t)=(C_1 + C_2 t)e^{t}-\tfrac{1}{2}\sin t.

Resposta

Ordem: 2
Linear: sim (é linear)
Homogênea: não (é não-homogênea)

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