Encontre a ordem e determine qual das seguintes equações diferenciais são lineares e quais de elas são homogêneas?
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que eu:
- encontre a ordem da equação;
- determine se a equação é linear ou não;
- determine se a equação é homogênea ou não.
Informações importantes dadas: a equação envolve
, suas derivadas
e
e o termo do lado direito
.
Passo 2
O que é “ordem” e como achar aqui.
- Definição: a ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior grau que aparece na equação.
- Na equação fornecida aparece
(derivada segunda de ), (derivada primeira) e (função). A derivada de maior ordem é a segunda derivada .
Portanto a ordem da equação é
.
Passo 3
O que significa uma equação ser linear e como verificar.
- Definição (intuição): uma equação diferencial é linear se a função incógnita
e suas derivadas aparecem apenas em termos que são proporcionais a elas (multiplicadas por funções conhecidas de ou por constantes) e não aparecem termos como , , , etc. Em outras palavras, não pode haver produtos ou funções não lineares de ou de suas derivadas. - Forma geral de uma EDO linear de segunda ordem (com coeficientes que podem depender de
):
onde
são funções conhecidas de
. Essa forma é linear porque a transformação
preserva a equação (propriedade de superposição para o operador linear).
Verificação na equação dada:
pode ser escrita como
ou seja
,
,
. Não há termos como
,
ou
. Além disso, o operador linear
definido por
satisfaz
(pode-se verificar calculando as derivadas e distribuindo as constantes).
Logo, a equação é linear.
Passo 4
O que significa “homogênea” e testar aqui.
- Para equações diferenciais lineares, diz-se que a equação é homogênea quando o termo do lado direito é zero, isto é:
- Se o lado direito é uma função não nula
a equação é chamada de não-homogênea (ou forçada).
Na equação dada o lado direito é
, que não é a função zero (ou seja,
não é identicamente zero). Portanto a equação é não-homogênea.
Passo 5
Resumo prático e uma observação útil para prova (como isso influencia a solução).
- Conclusão prática: a equação é de segunda ordem, linear e não-homogênea.
- Observação sobre soluções (útil em prova): para uma EDO linear não-homogênea a solução geral é soma da solução geral da equação homogênea associada
(chamada solução complementar ) e de uma solução particular da equação completa. Ou seja
No caso desta equação, a equação homogênea associada é
cuja equação característica é
com raiz dupla
, de onde
Para encontrar uma solução particular para o lado direito
pode-se tentar
. Substituindo e igualando coeficientes encontra-se
,
, logo
Assim a solução geral desta equação (apenas como comentário extra útil) é
Resposta
Ordem:
Linear: sim (é linear)
Homogênea: não (é não-homogênea)
Linear: sim (é linear)
Homogênea: não (é não-homogênea)