Resolva os PVIs usando Transformada de Laplace:
x^prime prime+4 x^prime+6 x=1+e^-t, x(0)=0, x^prime(0)=0

Passo 1

A gente tem o PVI x''+4x'+6x=1+e^-t com x(0)=0 e x'(0)=0. O conteúdo é resolução de EDO linear usando Transformada de Laplace, e vamos precisar conhecer: (1) propriedades de Laplace de derivadas, (2) transformadas de funções elementares e (3) frações parciais para inverter.

Passo 2

Aplicando Laplace em ambos os lados e usando Lx''=s^2X(s)-sx(0)-x'(0), Lx'=sX(s)-x(0) e Le^-t=1/(s+1), obtemos:
s^2X(s)+4l(sX(s)r)+6X(s)=1s+1s+1
Como x(0)=x'(0)=0, isso simplifica para
(s^2+4s+6)X(s)=1s+1s+1

Passo 3

Isolando X(s), escrevemos
X(s)=1s(s^2+4s+6)+1(s+1)(s^2+4s+6)
e notamos que s^2+4s+6=(s+2)^2+2. Vamos inverter cada parcela separadamente.

Passo 4

Para X1(s)=1/[s((s+2)^2+2)], fazemos fração parcial do tipo
1s((s+2)^2+2)=As+B(s+2)+C(s+2)^2+2
Igualando polinômios e resolvendo, achamos A=1/6, B=-1/6 e C=-1/3.

Passo 5

Invertendo Laplace de X1(s), usamos
x1(t)=16-16e^-2tcos(raiz2t)-13raiz2e^-2tsin(raiz2t)


Com isso,

Passo 6

Para X2(s)=1/[(s+1)((s+2)^2+2)], repetimos fração parcial:
1(s+1)((s+2)^2+2)=As+1+B(s+2)+C(s+2)^2+2,
obtendo A=1/3, B=-1/3, C=-1/3.

Passo 7

Invertendo Laplace de X2(s):
x2(t)=13e^-t-13e^-2tcos(raiz2t)-13raiz2e^-2tsin(raiz2t)
já conhecidas as demais inversões, resulta

Passo 8

Somando x1(t) e x2(t), chegamos à solução do PVI:

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