Encontre uma parametrização pelo comprimento de arco.
r(t)=lang<= e^t sin t, e^t cos t, e^t rang<=.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma parametrização pelo comprimento de arco da função vetorial r(t)=lang<= e^t sin t, e^t cos t, e^t rang<=. Isso significa que queremos reescrever a função em termos do comprimento de arco, que é uma maneira de descrever a posição de um ponto na curva baseado na distância percorrida ao longo dela. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas e integrais, para encontrar a relação entre o parâmetro t e o comprimento de arco s.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o comprimento de arco s de uma curva parametrizada por t é dado pela integral da magnitude da derivada de r(t) em relação a t:
s(t) = integralt0^t |r'(tau)| dtau
Nosso objetivo é encontrar s em termos de t e, se possível, inverter essa relação para expressar t em função de s.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada de r(t) em relação a t:
r'(t) = lang<= ddt(e^t sin t), ddt(e^t cos t), ddt(e^t) rang<=
Usando a regra do produto para derivação:
r'(t) = lang<= e^t sin t + e^t cos t, e^t cos t - e^t sin t, e^t rang<=

Passo 4

Agora, vamos calcular a magnitude de r'(t):
|r'(t)| = raiz(e^t sin t + e^t cos t)^2 + (e^t cos t - e^t sin t)^2 + (e^t)^2
Vamos simplificar cada termo:
  1. (e^t sin t + e^t cos t)^2 = e^2t (sin t + cos t)^2
  2. (e^t cos t - e^t sin t)^2 = e^2t (cos t - sin t)^2
  3. (e^t)^2 = e^2t
Então:
|r'(t)| = raize^2t (sin t + cos t)^2 + e^2t (cos t - sin t)^2 + e^2t

Passo 5

Vamos expandir os quadrados:
(sin t + cos t)^2 = sin^2 t + 2 sin t cos t + cos^2 t = 1 + sin 2t
(cos t - sin t)^2 = cos^2 t - 2 sin t cos t + sin^2 t = 1 - sin 2t
Substituindo de volta:
|r'(t)| = raize^2t (1 + sin 2t) + e^2t (1 - sin 2t) + e^2t = raiz2 e^2t + e^2t = raiz3 e^2t = e^t raiz3

Passo 6

Agora que temos |r'(t)| = raiz3 e^t, podemos encontrar o comprimento de arco s(t) integrando de t0 a t:
s(t) = integralt0^t raiz3 e^tau dtau = raiz3 [ e^tau ]t0^t = raiz3 (e^t - e^t0)
Para simplificar, podemos escolher t0 = 0, então:
s(t) = raiz3 (e^t - 1)

Passo 7

Agora, queremos expressar t em função de s. Vamos resolver a equação acima para t:
s = raiz3 (e^t - 1) sraiz3 = e^t - 1 e^t = 1 + sraiz3 t = ln(1 + sraiz3)

Passo 8

Finalmente, substituímos t por ln(1 + sraiz3) na expressão original da função vetorial:
r(s) = lang<= e^ln(1 + sraiz3) sin(ln(1 + sraiz3)), e^ln(1 + sraiz3) cos(ln(1 + sraiz3)), e^ln(1 + sraiz3) rang<=
Simplificando e^ln(a) = a:
r(s) = lang<= 1 + sraiz3 , sin(ln(1 + sraiz3)), 1 + sraiz3 , cos(ln(1 + sraiz3)), 1 + sraiz3 rang<=

Resposta

A parametrização pelo comprimento de arco da curva é:
r(s) = lang<= (1 + sraiz3) sin(ln(1 + sraiz3)), (1 + sraiz3) cos(ln(1 + sraiz3)), 1 + sraiz3 rang<=

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