Encontre uma parametrização pelo comprimento de arco.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma parametrização pelo comprimento de arco da função vetorial
. Isso significa que queremos reescrever a função em termos do comprimento de arco, que é uma maneira de descrever a posição de um ponto na curva baseado na distância percorrida ao longo dela. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas e integrais, para encontrar a relação entre o parâmetro
e o comprimento de arco
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o comprimento de arco
de uma curva parametrizada por
é dado pela integral da magnitude da derivada de
em relação a
:
Nosso objetivo é encontrar
em termos de
e, se possível, inverter essa relação para expressar
em função de
.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada de
em relação a
:
Usando a regra do produto para derivação:
Passo 4
Agora, vamos calcular a magnitude de
:
Vamos simplificar cada termo:
Então:
Passo 5
Vamos expandir os quadrados:
Substituindo de volta:
Passo 6
Agora que temos
, podemos encontrar o comprimento de arco
integrando de
a
:
Para simplificar, podemos escolher
, então:
Passo 7
Agora, queremos expressar
em função de
. Vamos resolver a equação acima para
:
Passo 8
Finalmente, substituímos
por
na expressão original da função vetorial:
Simplificando
:
Resposta
A parametrização pelo comprimento de arco da curva é: