Resolva as equações diferenciais:
d yd t+y=t e^t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
dydt + y = t cdot e^t
Conteúdo envolvido: Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e linear. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação para que possamos encontrar a solução.
O que precisamos: Entender como funciona o método do fator integrante e aplicá-lo passo a passo para encontrar a função $ y(t) $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da equação na forma padrão:
dydt + P(t) cdot y = Q(t)
No nosso caso:
P(t) = 1 e Q(t) = t cdot e^t
Isso nos ajuda a reconhecer qual parte da equação corresponde a $ P(t) $ e $ Q(t) $, essenciais para o próximo passo.

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante ($ \mu(t) $). O fator integrante é dado por:
mu(t)
Substituindo $ P(t) = 1 $:
mu(t) = e^integral P(t) , dt
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a resolução.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(t) = e^{t} $:
mu(t) = e^t
A equação agora fica:
e^t cdot dydt + e^t cdot y = t cdot e^t cdot e^t = t cdot e^2t

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ e^{t} \cdot y $. Isso porque:
e^t cdot y
Portanto, podemos reescrever a equação como:
ddt (e^t cdot y) = e^t cdot dydt + e^t cdot y
Isso simplifica a equação, facilitando a integração.

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a $ t $:
t
Do lado esquerdo, a integral da derivada simplesmente nos dá $ e^{t} \cdot y $:
integral ddt (e^t cdot y) , dt = integral t cdot e^2t , dt
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Vamos calcular a integral $ \int t \cdot e^{2t} , dt $. Para isso, usamos o método da integração por partes, que é dado por:
integral t cdot e^2t , dt
Escolhemos:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
u = t Rightarrow du = dt
Aplicando a fórmula:
dv = e^2t , dt Rightarrow v = 12 e^2t

Passo 8

Voltando à equação anterior:
e^t cdot y = ( t2 e^2t - 14 e^2t ) + C
Podemos fatorar $ e^{2t} $:
e^2t
Simplificando:
e^t cdot y = e^2t ( t2 - 14 ) + C

Passo 9

Agora, resolvemos para $ y $ dividindo ambos os lados por $ e^{t} $:
y
Simplificando ainda mais:
e^t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = ( t2 - 14 ) e^t + C e^-t
onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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