Resolva as equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Conteúdo envolvido: Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e linear. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação para que possamos encontrar a solução.
O que precisamos: Entender como funciona o método do fator integrante e aplicá-lo passo a passo para encontrar a função $ y(t) $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da equação na forma padrão:
No nosso caso:
Isso nos ajuda a reconhecer qual parte da equação corresponde a $ P(t) $ e $ Q(t) $, essenciais para o próximo passo.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante ($ \mu(t) $). O fator integrante é dado por:
Substituindo $ P(t) = 1 $:
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a resolução.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(t) = e^{t} $:
A equação agora fica:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ e^{t} \cdot y $. Isso porque:
Portanto, podemos reescrever a equação como:
Isso simplifica a equação, facilitando a integração.
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ t $:
Do lado esquerdo, a integral da derivada simplesmente nos dá $ e^{t} \cdot y $:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Vamos calcular a integral $ \int t \cdot e^{2t} , dt $. Para isso, usamos o método da integração por partes, que é dado por:
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Passo 8
Voltando à equação anterior:
Podemos fatorar $ e^{2t} $:
Simplificando:
Passo 9
Agora, resolvemos para $ y $ dividindo ambos os lados por $ e^{t} $:
Simplificando ainda mais:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C $ é uma constante arbitrária.