Encontre uma parametrização pelo comprimento de arco.
r(t)=lang<= t-sin t, 1-cos t rang<=.

Passo 1

O enunciado pede para reparametrizar a curva r(t)=lang<= t-sin t,;1-cos trang<= pelo comprimento de arco. Isso envolve cálculo de velocidade, comprimento de arco s(t), inversão para t(s) e, por fim, escrever r(s)=r(t(s)).

Passo 2

Calculamos a velocidade e sua magnitude:
r'(t)=l(1-cos t,;sin tr)
Usando identidades trigonométricas:
|r'(t)|=raiz(1-cos t)^2+sin^2 t=raiz2-2cos t=2,sint2

Passo 3

Integramos a velocidade de 0 até t para obter o comprimento de arco s(t):
s(t)=integral0^t2sinu2,du =l[-4costfracu2r]0^t=4l(1-costfract2r)

Passo 4

Invertendo a relação s=4(1-cos(t/2)) para achar t em função de s:
cost2=1-s4, t(s)=2arccosl(1-s4r)

Passo 5

Substituímos t(s) em r(t) para obter a parametrização pelo comprimento de arco:
r(s)=llang<= 2arccosl(1-tfracs4r)-sinl(2arccos(1-tfracs4)r),;1-cosl(2arccos(1-tfracs4)r)rrang<=,
para 0<= s<= 8, pois em t=2pi temos s(2pi)=8.

Resposta

Uma parametrização pelo comprimento de arco é
r(s)=llang<= 2arccosl(1-tfracs4r)-sinl(2arccos(1-tfracs4)r),;1-cosl(2arccos(1-tfracs4)r)rrang<=, 0<= s<= 8

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