Encontre uma parametrização pelo comprimento de arco.
reta
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos uma parametrização pelo comprimento de arco da reta $ y = 4x + 9 $. Isso significa que vamos expressar as coordenadas $ x $ e $ y $ em função do comprimento $ s $ ao longo da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma parametrização pelo comprimento de arco. Basicamente, a gente quer escrever a posição de um ponto na reta em termos da distância $ s $ que ele percorreu a partir de um ponto inicial. Para isso, precisamos garantir que a derivada da posição em relação a $ s $ tenha magnitude 1, ou seja, que a velocidade seja unitária.
Passo 3
Vamos começar parametrizando a reta de maneira geral. Podemos escolher $ x $ como nosso parâmetro inicial $ t $. Assim, temos:
Essa é uma parametrização simples da reta. Agora, vamos ajustar isso para que o parâmetro seja o comprimento $ s $.
Passo 4
Para fazer isso, precisamos calcular a velocidade da parametrização atual. A velocidade é dada pela derivada das funções $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $:
A magnitude da velocidade é:
Passo 5
Como queremos que a magnitude da velocidade seja 1 (para que $ s $ represente o comprimento de arco), vamos relacionar $ s $ com $ t $. Sabemos que:
Integrando ambos os lados:
Vamos escolher $ C = 0 $ para simplificar, então:
Passo 6
Agora, substituímos $ t $ em termos de $ s $ nas funções $ x(t) $ e $ y(t) $:
Passo 7
Pronto! Temos a parametrização pelo comprimento de arco da reta $ y = 4x + 9 $. Essa parametrização garante que $ s $ represente exatamente a distância percorrida ao longo da reta.
Resposta
A parametrização pelo comprimento de arco da reta $ y = 4x + 9 $ é: