Resolva as equações diferenciais:
d yd t+cos t cdot y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dydt + cos t cdot y = 0. Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o método do Fator Integrante.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a equação está na forma padrão de uma equação diferencial linear: dydt + P(t) cdot y = Q(t). No nosso caso, P(t) = cos t e Q(t) = 0.

Passo 3

O próximo passo é encontrar o Fator Integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O Fator Integrante, mu(t), é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) , dt
Então, vamos calcular a integral de P(t):
integral cos t , dt = sin t
Portanto,
mu(t) = e^sin t

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo Fator Integrante:
e^sin t cdot dydt + e^sin t cdot cos t cdot y = 0
Isso nos permite reescrever a equação como a derivada de um produto:
ddt ( e^sin t cdot y ) = 0

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a t:
integral ddt ( e^sin t cdot y ) dt = integral 0 , dt
Isso nos dá:
e^sin t cdot y = C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, resolvemos para y dividindo ambos os lados por e^sin t:
y = C cdot e^-sin t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C cdot e^-sin t

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