Encontre uma parametrização do cone
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma parametrização da superfície dada por
.
Informações fornecidas e o que é pedido:
Informações fornecidas e o que é pedido:
- A superfície é o cone com equação
. - O cone está limitado entre
(vértice/apex no origin) e (uma circunferência no plano ). - Precisamos dar uma função de dois parâmetros que, variando nos intervalos apropriados, descreva exatamente essa porção do cone.
Passo 2
Ideia básica (sem ainda resolver): usar coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas usamos dois parâmetros usuais:
A relação entre cartesianas e cilíndricas é
Aqui
e
normalmente varia em
. Vou explicar por que isso é conveniente para o cone.
Passo 3
Usamos a equação do cone para ligar
e
. Como
(porque
), a equação
vira
Isto significa que, sobre o cone, a coordenada radial
é exatamente igual à coordenada vertical
. Logo podemos escolher como parâmetros
e
e substituir nas fórmulas cilíndricas.
Passo 4
Determinar os intervalos dos parâmetros a partir da condição
e da relação
:
Explicação: como
e
vai de
a
,
também vai de
a
. O ângulo
percorre toda a volta para cobrir a circunferência.
Passo 5
Agora montamos a parametrização substituindo
e
nas expressões de
. Uma parametrização vetorial conveniente é
com domínio
Verificação rápida: para esse ponto,
e assim
, portanto a parametrização realmente descreve o cone pedido.
Passo 6
Comentários e intuição geométrica (útil na prova):
- Para cada
fixo, com variando de a é um segmento radial do vértice até a circunferência de raio no plano . - Para
e variando, obtemos a circunferência superior (seção ). - Apontamento técnico: a parametrização é suave para
; no vértice há singularidade típica (o mapeamento “fecha” tudo num ponto), mas para a maioria de aplicações (fluxos, integrais) isso é esperado e tratado separadamente se preciso.
Passo 7
Alternativa compacta (mesma coisa, às vezes usada na prova): usar
como parâmetro no lugar de
. Então
é exatamente equivalente e às vezes mais direto se o enunciado fala em limites em
.