Encontre uma parametrização do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, 0 \leq z \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma parametrização da superfície dada por \,z=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\;0\le z\le 1\,.
Informações fornecidas e o que é pedido:
  • A superfície é o cone com equação \,z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,.
  • O cone está limitado entre \,z=0\, (vértice/apex no origin) e \,z=1\, (uma circunferência no plano z=1).
  • Precisamos dar uma função de dois parâmetros que, variando nos intervalos apropriados, descreva exatamente essa porção do cone.

Passo 2

Ideia básica (sem ainda resolver): usar coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas usamos dois parâmetros usuais:
r\quad\text{(distância radial ao eixo \(z\))},\qquad \theta\quad\text{(ângulo em torno do eixo \(z\))}.ââ
A relação entre cartesianas e cilíndricas é
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
Aqui r\ge 0 e \theta normalmente varia em [0,2\pi). Vou explicar por que isso é conveniente para o cone.

Passo 3

Usamos a equação do cone para ligar r e z. Como \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{r^{2}}=r (porque r\ge0), a equação z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} vira
z = r.
Isto significa que, sobre o cone, a coordenada radial r é exatamente igual à coordenada vertical z. Logo podemos escolher como parâmetros r e \theta e substituir nas fórmulas cilíndricas.

Passo 4

Determinar os intervalos dos parâmetros a partir da condição \,0\le z\le 1\, e da relação z=r:
0 \le r \le 1,\qquad 0 \le \theta < 2\pi.
Explicação: como z=r e z vai de 0 a 1, r também vai de 0 a 1. O ângulo \theta percorre toda a volta para cobrir a circunferência.

Passo 5

Agora montamos a parametrização substituindo r e \theta nas expressões de x,y,z. Uma parametrização vetorial conveniente é
\mathbf{r}(r,\theta)=\big(r\cos\theta,\; r\sin\theta,\; r\big),
com domínio
0 \le r \le 1,\qquad 0 \le \theta < 2\pi.
Verificação rápida: para esse ponto,
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(r\cos\theta)^{2}+(r\sin\theta)^{2}}=\sqrt{r^{2}}=r,
e assim z=r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, portanto a parametrização realmente descreve o cone pedido.

Passo 6

Comentários e intuição geométrica (útil na prova):
  • Para cada \theta fixo, \mathbf{r}(r,\theta) com r variando de 0 a 1 é um segmento radial do vértice até a circunferência de raio 1 no plano z=1.
  • Para r=1 e \theta variando, obtemos a circunferência superior (seção z=1).
  • Apontamento técnico: a parametrização é suave para r>0; no vértice r=0 há singularidade típica (o mapeamento “fecha” tudo num ponto), mas para a maioria de aplicações (fluxos, integrais) isso é esperado e tratado separadamente se preciso.

Passo 7

Alternativa compacta (mesma coisa, às vezes usada na prova): usar u=z como parâmetro no lugar de r. Então
\mathbf{r}(z,\theta)=(z\cos\theta,\;z\sin\theta,\;z),\qquad 0\le z\le1,\;0\le\theta<2\pi,
é exatamente equivalente e às vezes mais direto se o enunciado fala em limites em z.

Resposta

\displaystyle \mathbf{r}(r,\theta)=\big(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r\big),\quad 0\le r\le1,\;0\le\theta<2\pi

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