Questäo 1
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No espaço \mathbb{R}_{2}[X] o polinômio q=6+2 x+x^{2} na base \mathcal{B}=\left\{x^{2}+1,1+x, 1\right\} tem coordenadas (2,2,2).
Escolha uma opção:
◯ Verdadeiro
◯ Falso
Passo 1
O enunciado dá: o polinômio \;q = 6 + 2x + x^{2}\; no espaço \;\mathbb{R}_{2}[X]\; e a base \;\mathcal{B} = \{\,x^{2}+1,\;1+x,\;1\,\}. A afirmação a verificar é: "nas coordenadas da base \mathcal{B}, q tem coordenadas (2,2,2)". Ou seja, o enunciado afirma que existem escalares (coordenadas) a,b,c iguais a 2 tais que q = a(x^{2}+1) + b(1+x) + c(1) com a=b=c=2.
Passo 2
O que significa "coordenadas de q na base \mathcal{B}"? É encontrar escalares a,b,c\in\mathbb{R} tais que
q = a\,(x^{2}+1) + b\,(1+x) + c\,(1).
Aqui a, b, c são as coordenadas de q na base \mathcal{B}. Para comparar polinômios, igualamos coeficientes das mesmas potências de x (coeficientes de x^{2}, de x e termo constante). Essa é a técnica padrão: representar q como combinação linear dos vetores da base e igualar coeficientes.
Passo 3
Testo a afirmação diretamente substituindo a=b=c=2. Calculo a combinação:
2\,(x^{2}+1) + 2\,(1+x) + 2\,(1).
Desenvolvendo termo a termo:
2x^{2} + 2 + 2 + 2x + 2.
Agrupando termos semelhantes (ordem decrescente das potências):
2x^{2} + 2x + (2+2+2) = 2x^{2} + 2x + 6.
Passo 4
Agora compare com o polinômio q dado:
q = x^{2} + 2x + 6.
Observamos que a combinação com (2,2,2) produz 2x^{2} + 2x + 6, enquanto q tem coeficiente de x^{2} igual a 1. Portanto os polinômios não coincidem: o coeficiente de x^{2} difere (2 versus 1). Isso mostra que (2,2,2) não são as coordenadas corretas de q na base \mathcal{B}.
Passo 5
Para ficar claro, vou calcular as coordenadas corretas resolvendo para a,b,c\). Escrevo a igualdade genérica
\[a\,(x^{2}+1) + b\,(1+x) + c\,(1) = a x^{2} + b x + (a + b + c),
e igualo aos coeficientes de q = x^{2} + 2x + 6. Isso gera o sistema:
\begin{cases} a = 1 &\text{(coeficiente de }x^{2}\text{)},\\[4pt] b = 2 &\text{(coeficiente de }x\text{)},\\[4pt] a + b + c = 6 &\text{(termo constante)}. \end{cases}
Substituindo a=1\] e \(b=2 na terceira equação:
1 + 2 + c = 6 \quad\Rightarrow\quad c = 3.
Logo as coordenadas corretas de q na base \mathcal{B} são (1,2,3), não (2,2,2).]