Uma massa pesando 4 libras é presa a uma mola cuja constante é 2 \mathrm{lb} / pé. O meio oferece uma força de amortecimento ao peso que é numericamente igual à velocidade instantânea. A massa é inicialmente solta de um ponto 1 pé acima da posição de equilíbrio a uma velocidade de 8 pés/s para baixo. Determine o tempo no qual a massa passará pela posição de equilíbrio. Ache o tempo no qual a massa atinge seu deslocamento máximo em relação à posição de equilíbrio. Qual é a posição da massa nesse instante?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Informações fornecidas:
    • O peso da massa é 4 libras.
    • A constante da mola é 2\\ \mathrm{lb/ft}.
    • A força de amortecimento é numericamente igual à velocidade instantânea (ou seja, o coeficiente de amortecimento é tal que a força amortecedora vale 1 vezes a velocidade).
    • A massa é solta a uma posição 1 pé acima da posição de equilíbrio.
    • A velocidade inicial é 8\\ \mathrm{ft/s} para baixo.
  • Perguntas do enunciado:
    1. Determine o tempo em que a massa passará pela posição de equilíbrio.
    2. Ache o tempo em que a massa atinge seu deslocamento máximo em relação à posição de equilíbrio.
    3. Qual é a posição da massa nesse instante?

Passo 2

Convertemos o peso em massa (no sistema inglês de unidades): o peso W e a massa m estão relacionados por W = m g, onde g é a aceleração da gravidade. Usamos g = 32\\ \mathrm{ft/s^2}. Portanto
m=\frac{W}{g}=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}\quad\text{(slug)}.
Explicação curta: o ODE da massa-mola amortecida usa a massa m (em slugs), a constante da mola k (em lb/ft) e o coeficiente de amortecimento c (em lb·s/ft).

Passo 3

Definimos a variável x(t) como o deslocamento medido a partir da posição de equilíbrio. Escolhemos o sentido positivo para baixo (isso facilita porque a velocidade inicial para baixo será positiva).
  • Como a massa foi solta 1 pé acima da posição de equilíbrio, isso dá a condição inicial de posição
x(0)=-1.
  • A velocidade inicial é 8\\ \mathrm{ft/s} para baixo, logo
x'(0)=8.
Sobre o amortecimento: o enunciado diz que a força amortecedora é numericamente igual à velocidade, ou seja, c\,x'(t) tem coeficiente c=1 (unidades de lb·s/ft).
A equação do movimento (segunda lei de Newton aplicada ao sistema massa-mola-amortecedor) é
m x'' + c x' + k x = 0.

Passo 4

Substituímos os valores numéricos m=\frac{1}{8}, c=1 e k=2 na equação:
\frac{1}{8}x'' + 1\cdot x' + 2 x = 0.
Multiplicando por 8 para simplificar:
x'' + 8 x' + 16 x = 0.
Este é um ODE linear homogêneo de segunda ordem com coeficientes constantes. A técnica padrão é achar as raízes da equação característica.

Passo 5

Escrevemos a equação característica associada:
r^2 + 8 r + 16 = 0.
Calculamos o discriminante ou factorizamos; neste caso reconhecemos que a expressão é um quadrado perfeito:
r^2 + 8 r + 16 = (r+4)^2.
Portanto há uma raiz real dupla
r=-4\quad\text{(raiz dupla)}.
Quando a equação característica tem raiz dupla r, a solução geral do ODE é da forma
x(t) = \big(C_1 + C_2 t\big)e^{r t}.
Aqui, com r=-4,
x(t) = \big(C_1 + C_2 t\big)e^{-4 t}.
Explicação didática: para raiz simples usamos e^{rt}; para raiz dupla precisa-se do fator extra t para formar duas soluções linearmente independentes.

Passo 6

Usamos as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
Primeiro, a condição x(0)=-1:
x(0) = (C_1 + C_2\cdot 0)e^{0} = C_1 = -1.
Agora derivamos x(t). Usamos produto e cadeia:
x(t) = (C_1 + C_2 t)e^{-4t}.
Derivando,
x'(t) = C_2 e^{-4t} + (C_1 + C_2 t)(-4)e^{-4t} = e^{-4t}\big(C_2 - 4 C_1 - 4 C_2 t\big).
Aplicando t=0 e x'(0)=8:
x'(0) = C_2 - 4 C_1 = 8.
Substituindo C_1=-1:
C_2 - 4(-1) = C_2 + 4 = 8 \quad\Rightarrow\quad C_2 = 4.
Portanto a solução particular é
x(t) = (-1 + 4 t)e^{-4 t}.

Passo 7

Agora respondemos a primeira pergunta: tempo em que a massa passa pela posição de equilíbrio. Passar pela posição de equilíbrio significa x(t)=0. Resolvem-se
(-1 + 4 t)e^{-4 t} = 0.
O fator e^{-4t} nunca é zero para t finito, então devemos ter
-1 + 4 t = 0 \quad\Rightarrow\quad t = \frac{1}{4}.
Portanto a massa passa pela posição de equilíbrio no tempo t=\frac{1}{4} segundos.
Interpretação física rápida: ela parte acima do equilíbrio com velocidade para baixo, cruza a posição de equilíbrio já bastante rápido (após 0{,}25\\ \mathrm{s}).

Passo 8

Agora achamos o instante em que a massa atinge o deslocamento máximo relativo ao equilíbrio. Um máximo (ou mínimo) ocorre quando x'(t)=0. Já temos a expressão de x'(t); com C_1=-1 e C_2=4 fica
x'(t) = e^{-4t}\big(4 - 4(-1) - 4\cdot 4 t\big) = e^{-4t}(8 - 16 t).
Igualando a zero:
e^{-4t}(8 - 16 t)=0 \quad\Rightarrow\quad 8 - 16 t = 0 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{1}{2}.
Temos então um candidato a extremo em t=\frac{1}{2} segundo.
Para verificar que é um máximo (e não mínimo), observamos o sinal de x'(t):
  • Para t<\tfrac{1}{2} temos 8-16t>0, então x'(t)>0 (a função está subindo).
  • Para t>\tfrac{1}{2} temos 8-16t<0, então x'(t)<0 (a função está descendo).
    Logo em t=\tfrac{1}{2} a função muda de crescente para decrescente, portanto é um máximo.

Passo 9

Calculamos a posição nesse instante t=\tfrac{1}{2}:
x\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = \big(-1 + 4\cdot \tfrac{1}{2}\big)e^{-4\cdot \tfrac{1}{2}} = ( -1 + 2 ) e^{-2} = e^{-2}.
Portanto a posição máxima em relação à posição de equilíbrio é x=\;e^{-2} pés no sentido positivo (lembrando que escolhemos para baixo o sinal positivo). Numericamente e^{-2}\approx 0{,}1353\\ \mathrm{ft}, ou seja cerca de 1{,}62 polegadas para baixo.

Resposta

t=\dfrac{1}{4}\\ \text{s}
t=\dfrac{1}{2}\\ \text{s}
x\!\left(\dfrac{1}{2}\right)=e^{-2}\\ \text{ft}

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