Uma massa pesando 4 libras é presa a uma mola cuja constante é
pé. O meio oferece uma força de amortecimento ao peso que é numericamente igual à velocidade instantânea. A massa é inicialmente solta de um ponto 1 pé acima da posição de equilíbrio a uma velocidade de 8 pés/s para baixo. Determine o tempo no qual a massa passará pela posição de equilíbrio. Ache o tempo no qual a massa atinge seu deslocamento máximo em relação à posição de equilíbrio. Qual é a posição da massa nesse instante?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
-
Informações fornecidas:
- O peso da massa é
libras. - A constante da mola é
. - A força de amortecimento é numericamente igual à velocidade instantânea (ou seja, o coeficiente de amortecimento é tal que a força amortecedora vale
vezes a velocidade). - A massa é solta a uma posição
pé acima da posição de equilíbrio. - A velocidade inicial é
para baixo.
- O peso da massa é
-
Perguntas do enunciado:
- Determine o tempo em que a massa passará pela posição de equilíbrio.
- Ache o tempo em que a massa atinge seu deslocamento máximo em relação à posição de equilíbrio.
- Qual é a posição da massa nesse instante?
Passo 2
Convertemos o peso em massa (no sistema inglês de unidades): o peso
e a massa
estão relacionados por
, onde
é a aceleração da gravidade. Usamos
. Portanto
Explicação curta: o ODE da massa-mola amortecida usa a massa
(em slugs), a constante da mola
(em lb/ft) e o coeficiente de amortecimento
(em lb·s/ft).
Passo 3
Definimos a variável
como o deslocamento medido a partir da posição de equilíbrio. Escolhemos o sentido positivo para baixo (isso facilita porque a velocidade inicial para baixo será positiva).
- Como a massa foi solta
pé acima da posição de equilíbrio, isso dá a condição inicial de posição
- A velocidade inicial é
para baixo, logo
Sobre o amortecimento: o enunciado diz que a força amortecedora é numericamente igual à velocidade, ou seja,
tem coeficiente
(unidades de lb·s/ft).
A equação do movimento (segunda lei de Newton aplicada ao sistema massa-mola-amortecedor) é
Passo 4
Substituímos os valores numéricos
,
e
na equação:
Multiplicando por
para simplificar:
Este é um ODE linear homogêneo de segunda ordem com coeficientes constantes. A técnica padrão é achar as raízes da equação característica.
Passo 5
Escrevemos a equação característica associada:
Calculamos o discriminante ou factorizamos; neste caso reconhecemos que a expressão é um quadrado perfeito:
Portanto há uma raiz real dupla
Quando a equação característica tem raiz dupla
, a solução geral do ODE é da forma
Aqui, com
,
Explicação didática: para raiz simples usamos
; para raiz dupla precisa-se do fator extra
para formar duas soluções linearmente independentes.
Passo 6
Usamos as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiro, a condição
:
Agora derivamos
. Usamos produto e cadeia:
Derivando,
Aplicando
e
:
Substituindo
:
Portanto a solução particular é
Passo 7
Agora respondemos a primeira pergunta: tempo em que a massa passa pela posição de equilíbrio. Passar pela posição de equilíbrio significa
. Resolvem-se
O fator
nunca é zero para
finito, então devemos ter
Portanto a massa passa pela posição de equilíbrio no tempo
segundos.
Interpretação física rápida: ela parte acima do equilíbrio com velocidade para baixo, cruza a posição de equilíbrio já bastante rápido (após
).
Passo 8
Agora achamos o instante em que a massa atinge o deslocamento máximo relativo ao equilíbrio. Um máximo (ou mínimo) ocorre quando
. Já temos a expressão de
; com
e
fica
Igualando a zero:
Temos então um candidato a extremo em
segundo.
Para verificar que é um máximo (e não mínimo), observamos o sinal de
:
- Para
temos , então (a função está subindo). - Para
temos , então (a função está descendo).
Logo ema função muda de crescente para decrescente, portanto é um máximo.
Passo 9
Calculamos a posição nesse instante
:
Portanto a posição máxima em relação à posição de equilíbrio é
pés no sentido positivo (lembrando que escolhemos para baixo o sinal positivo). Numericamente
, ou seja cerca de
polegadas para baixo.