Encontre uma parametrização para a reta tangente à curva no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma parametrização para a reta tangente à curva definida por no ponto onde . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas para encontrar vetores tangentes. Vamos precisar calcular a posição da curva nesse ponto e a derivada dela para achar a direção da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto na curva quando . Basta substituir por 2 na função :
Então, o ponto de tangência é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função para obter o vetor tangente à curva. A derivada de em relação a é:
Passo 4
Vamos calcular substituindo na derivada:
Esse vetor indica a direção da reta tangente no ponto .
Passo 5
Agora, vamos montar a equação paramétrica da reta tangente. A parametrização de uma reta no espaço é dada por:
Onde é o ponto de tangência e é o vetor diretor. Substituindo os valores que encontramos:
Isso pode ser escrito como:
Resposta
A parametrização da reta tangente à curva no ponto t = 2 é: