Encontre uma parametrização para a reta tangente à curva r(t)=(1-t^2, 5 t, 2 t^3) no ponto t=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma parametrização para a reta tangente à curva definida por r(t) = (1 - t^2, 5t, 2t^3) no ponto onde t = 2. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas para encontrar vetores tangentes. Vamos precisar calcular a posição da curva nesse ponto e a derivada dela para achar a direção da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto na curva quando t = 2. Basta substituir t por 2 na função r(t):
r(2) = (1 - (2)^2, 5 times 2, 2 times (2)^3) = (1 - 4, 10, 16) = (-3, 10, 16)
Então, o ponto de tangência é P(-3, 10, 16).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função r(t) para obter o vetor tangente à curva. A derivada de r(t) em relação a t é:
r'(t) = (ddt(1 - t^2), ddt(5t), ddt(2t^3)) = (-2t, 5, 6t^2)

Passo 4

Vamos calcular r'(2) substituindo t = 2 na derivada:
r'(2) = (-2 times 2, 5, 6 times (2)^2) = (-4, 5, 24)
Esse vetor v = (-4, 5, 24) indica a direção da reta tangente no ponto P(-3, 10, 16).

Passo 5

Agora, vamos montar a equação paramétrica da reta tangente. A parametrização de uma reta no espaço é dada por:
L(s) = P + s v
Onde P é o ponto de tangência e v é o vetor diretor. Substituindo os valores que encontramos:
L(s) = (-3, 10, 16) + s (-4, 5, 24)
Isso pode ser escrito como:
x = -3 - 4s y = 10 + 5s z = 16 + 24s

Resposta

A parametrização da reta tangente à curva no ponto t = 2 é:
L(s) = (-3 - 4s, 10 + 5s, 16 + 24s)
ou, em forma paramétrica:
x = -3 - 4s y = 10 + 5s z = 16 + 24s
Onde s é o parâmetro real.

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