Encontre uma parametrização para a curva obtida pela intersecção
do cone z=\sqrt{4 x^{2}+y^{2}} com o plano z=2 x+1.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da curva obtida pela intersecção de duas superfícies. As superfícies dadas são:
  • o cone z=\sqrt{4x^{2}+y^{2}};
  • o plano z=2x+1.
As perguntas implícitas são:
  • achar as coordenadas (x,y,z) da curva em função de um parâmetro t;
  • garantir que a parametrização descreva exatamente a intersecção (sem soluções espúrias) e indicar o domínio do parâmetro.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • a igualdade entre as duas superfícies fornece a condição \sqrt{4x^{2}+y^{2}}=2x+1;
  • a raiz quadrada do lado esquerdo é sempre não-negativa, então a parte direita deve satisfazer 2x+1\ge 0 (isso será verificado durante a resolução).

Passo 2

Igualamos as duas expressões para z. Temos a equação
\sqrt{4x^{2}+y^{2}}=2x+1.
Antes de elevar ao quadrado, observamos que o lado esquerdo é \ge 0. Para que a equação faça sentido, é necessário que o lado direito também seja \ge 0, ou seja
2x+1 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x \ge -\tfrac{1}{2}.
Essa condição será compatível com a parametrização que escolhermos.

Passo 3

Elevamos ambos os lados ao quadrado (válido porque já exigimos 2x+1\ge0), obtendo:
4x^{2}+y^{2}=(2x+1)^{2}.
Desenvolvendo o quadrado do lado direito:
(2x+1)^{2}=4x^{2}+4x+1.
Subtraindo 4x^{2} de ambos os lados resulta em uma relação simples entre x e y:
y^{2}=4x+1.
Portanto a projeção da curva no plano xy é a parábola dada por \,y^{2}=4x+1.

Passo 4

Para parametrizar a parábola \,y^{2}=4x+1 é prático tomar y como parâmetro. Seja t um parâmetro real e defina
y(t)=t.
Substituindo em \,y^{2}=4x+1 obtemos
t^{2}=4x+1 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{t^{2}-1}{4}.
Essa escolha é simples e direta: todo t\in\mathbb{R} gera um ponto (x,y) que satisfaz a equação da projeção.

Passo 5

Agora calculamos z a partir do plano z=2x+1. Substituindo x=\dfrac{t^{2}-1}{4} temos
z(t)=2\cdot\frac{t^{2}-1}{4}+1=\frac{t^{2}-1}{2}+1=\frac{t^{2}+1}{2}.
Portanto, em termos do parâmetro t já temos as coordenadas x(t), y(t) e z(t).

Passo 6

Devemos verificar que essa parametrização realmente satisfaz a equação do cone (e que não introduz soluções espúrias pela elevação ao quadrado). Calculemos a raiz:
\sqrt{4x(t)^{2}+y(t)^{2}} =\sqrt{4\left(\frac{t^{2}-1}{4}\right)^{2}+t^{2}} =\sqrt{\frac{(t^{2}-1)^{2}}{4}+t^{2}}.
Somando os termos dentro da raiz:
\frac{(t^{2}-1)^{2}}{4}+t^{2}=\frac{t^{4}-2t^{2}+1+4t^{2}}{4}=\frac{t^{4}+2t^{2}+1}{4}=\frac{(t^{2}+1)^{2}}{4}.
Portanto a raiz é
\sqrt{4x(t)^{2}+y(t)^{2}}=\sqrt{\frac{(t^{2}+1)^{2}}{4}}=\frac{t^{2}+1}{2}.
Como \dfrac{t^{2}+1}{2}\ge0, não houve perda de informação ao elevar ao quadrado e obtemos exatamente z(t)=\dfrac{t^{2}+1}{2}, que coincide com o valor vindo do plano. Logo a parametrização é válida e não contém soluções espúrias.

Passo 7

Verificamos o domínio do parâmetro t. Para todo t\in\mathbb{R} as coordenadas calculadas existem e satisfazem ambas as superfícies. A condição 2x+1\ge0 é satisfeita:
2x(t)+1=2\cdot\frac{t^{2}-1}{4}+1=\frac{t^{2}+1}{2}\ge0\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.
Portanto o domínio do parâmetro é t\in\mathbb{R}.

Passo 8

(Comentário prático de prova) A parametrização encontrada é suave e regular: derivando coordenadas em relação a t obtemos
x'(t)=\frac{t}{2},\qquad y'(t)=1,\qquad z'(t)=t,
logo o vetor velocidade é r'(t)=\big(\tfrac{t}{2},1,t\big), que nunca é o vetor zero (pois a segunda componente é sempre 1). Assim a curva é uma curva parametrizada suavemente por todo \mathbb{R}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{r}(t)=\left(\frac{t^{2}-1}{4},\,t,\,\frac{t^{2}+1}{2}\right),\quad t\in\mathbb{R}

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