Encontre uma parametrização para a curva obtida pela intersecção
do cone
com o plano
.
do cone
Passo 1
O enunciado pede uma parametrização da curva obtida pela intersecção de duas superfícies. As superfícies dadas são:
- o cone
; - o plano
.
As perguntas implícitas são:
- achar as coordenadas
da curva em função de um parâmetro ; - garantir que a parametrização descreva exatamente a intersecção (sem soluções espúrias) e indicar o domínio do parâmetro.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- a igualdade entre as duas superfícies fornece a condição
; - a raiz quadrada do lado esquerdo é sempre não-negativa, então a parte direita deve satisfazer
(isso será verificado durante a resolução).
Passo 2
Igualamos as duas expressões para
. Temos a equação
Antes de elevar ao quadrado, observamos que o lado esquerdo é
. Para que a equação faça sentido, é necessário que o lado direito também seja
, ou seja
Essa condição será compatível com a parametrização que escolhermos.
Passo 3
Elevamos ambos os lados ao quadrado (válido porque já exigimos
), obtendo:
Desenvolvendo o quadrado do lado direito:
Subtraindo
de ambos os lados resulta em uma relação simples entre
e
:
Portanto a projeção da curva no plano
é a parábola dada por
Passo 4
Para parametrizar a parábola
é prático tomar
como parâmetro. Seja
um parâmetro real e defina
Substituindo em
obtemos
Essa escolha é simples e direta: todo
gera um ponto
que satisfaz a equação da projeção.
Passo 5
Agora calculamos
a partir do plano
. Substituindo
temos
Portanto, em termos do parâmetro
já temos as coordenadas
,
e
.
Passo 6
Devemos verificar que essa parametrização realmente satisfaz a equação do cone (e que não introduz soluções espúrias pela elevação ao quadrado). Calculemos a raiz:
Somando os termos dentro da raiz:
Portanto a raiz é
Como
, não houve perda de informação ao elevar ao quadrado e obtemos exatamente
, que coincide com o valor vindo do plano. Logo a parametrização é válida e não contém soluções espúrias.
Passo 7
Verificamos o domínio do parâmetro
. Para todo
as coordenadas calculadas existem e satisfazem ambas as superfícies. A condição
é satisfeita:
Portanto o domínio do parâmetro é
.
Passo 8
(Comentário prático de prova) A parametrização encontrada é suave e regular: derivando coordenadas em relação a
obtemos
logo o vetor velocidade é
, que nunca é o vetor zero (pois a segunda componente é sempre
). Assim a curva é uma curva parametrizada suavemente por todo
.