Encontre uma parametrização para a curva obtida pela intersecção
da superfície
com o plano
.
da superfície
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado o quádruplo
e o plano - Pedido: encontrar uma parametrização da curva de interseção desses dois conjuntos (ou seja, uma função vetorial
que percorre todos os pontos que satisfazem as duas equações). - Informações relevantes que vamos usar (retiradas diretamente do enunciado):
- A superfície é dada por
. - O plano é dado por
.
- A superfície é dada por
Passo 2
Substituir a expressão do plano na equação da superfície para obter uma relação entre
e
.
- Pegando
e substituindo em , obtemos - Desenvolvendo o quadrado
e simplificando:
- Cancelando os
em ambos os lados:
Passo 3
Reescrever a expressão envolvendo
completando o quadrado para identificar a curva (elipse).
- Agrupando os termos em
: - Completar o quadrado em
: sabe que . Substituindo:
- Isolando os termos e dividindo por
: - Interpretação: esta é a equação de uma elipse no plano das variáveis
e , centrada em , com semi-eixo em de comprimento e semi-eixo em de comprimento .
Passo 4
Parametrizar a elipse encontrada usando funções trigonométricas.
- Lembrete rápido: para a elipse padrão
uma parametrização conveniente é porque . - No nosso caso identifique
, , e . Então escolhemos - Isolando
: - O parâmetro
varia normalmente em para percorrer toda a elipse uma vez.
Passo 5
Encontrar a componente
usando a equação do plano e montar a parametrização vetorial.
- Usando
e substituindo : - Assim a parametrização completa da curva de interseção é
Passo 6
Verificação breve (para ficar tranquilo): substituir a parametrização na equação da superfície e checar que dá
.
- Defina
e . Então , e . - Calcule
Usando e simplificando os termos aparece o que confirma que a parametrização realmente satisfaz .