Encontre uma parametrização para a curva obtida pela intersecção
da superfície x^{2}+y^{2}-2 z^{2}=1 com o plano y=2 z+1.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado o quádruplo x^{2}+y^{2}-2 z^{2}=1,e o plano y=2 z+1.
  • Pedido: encontrar uma parametrização da curva de interseção desses dois conjuntos (ou seja, uma função vetorial \mathbf{r}(t) que percorre todos os pontos que satisfazem as duas equações).
  • Informações relevantes que vamos usar (retiradas diretamente do enunciado):
    • A superfície é dada por \,x^{2}+y^{2}-2 z^{2}=1.
    • O plano é dado por \,y=2 z+1.

Passo 2

Substituir a expressão do plano na equação da superfície para obter uma relação entre x e z.
  • Pegando \,y=2 z+1 e substituindo em \,x^{2}+y^{2}-2 z^{2}=1, obtemos x^{2}+(2z+1)^{2}-2z^{2}=1.
  • Desenvolvendo o quadrado (2z+1)^{2} e simplificando: x^{2}+(4z^{2}+4z+1)-2z^{2}=1,
x^{2}+2z^{2}+4z+1=1.
  • Cancelando os 1 em ambos os lados: x^{2}+2z^{2}+4z=0.

Passo 3

Reescrever a expressão envolvendo z completando o quadrado para identificar a curva (elipse).
  • Agrupando os termos em z: x^{2}+2\bigl(z^{2}+2z\bigr)=0.
  • Completar o quadrado em z^{2}+2z: sabe que \,z^{2}+2z=(z+1)^{2}-1. Substituindo: x^{2}+2\bigl((z+1)^{2}-1\bigr)=0,
x^{2}+2(z+1)^{2}-2=0.
  • Isolando os termos e dividindo por 2: x^{2}+2(z+1)^{2}=2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{2}+(z+1)^{2}=1.
  • Interpretação: esta é a equação de uma elipse no plano das variáveis x e z, centrada em (x,z)= (0,-1), com semi-eixo em x de comprimento \sqrt{2} e semi-eixo em z de comprimento 1.

Passo 4

Parametrizar a elipse encontrada usando funções trigonométricas.
  • Lembrete rápido: para a elipse padrão \frac{X^{2}}{a^{2}}+\frac{Z^{2}}{b^{2}}=1uma parametrização conveniente é X=a\cos t,\qquad Z=b\sin t,porque \cos^{2}t+\sin^{2}t=1.
  • No nosso caso identifique X=x, Z=z+1, a=\sqrt{2} e b=1. Então escolhemos x=\sqrt{2}\cos t,\qquad z+1=\sin t.
  • Isolando z: z=-1+\sin t.
  • O parâmetro t varia normalmente em [0,2\pi) para percorrer toda a elipse uma vez.

Passo 5

Encontrar a componente y usando a equação do plano e montar a parametrização vetorial.
  • Usando \,y=2z+1 e substituindo z=-1+\sin t: y=2(-1+\sin t)+1=-1+2\sin t.
  • Assim a parametrização completa da curva de interseção é \mathbf{r}(t)=\bigl(x(t),\,y(t),\,z(t)\bigr) =\bigl(\sqrt{2}\cos t,\; -1+2\sin t,\; -1+\sin t\bigr), \qquad t\in[0,2\pi).

Passo 6

Verificação breve (para ficar tranquilo): substituir a parametrização na equação da superfície e checar que dá 1.
  • Defina s=\sin t e c=\cos t. Então x^{2}=2c^{2}, y^{2}=(-1+2s)^{2}=1-4s+4s^{2} e z^{2}=(-1+s)^{2}=1-2s+s^{2}.
  • Calcule x^{2}+y^{2}-2z^{2}=2c^{2}+(1-4s+4s^{2})-2(1-2s+s^{2}).Usando c^{2}=1-s^{2} e simplificando os termos aparece 2(1-s^{2})+1-4s+4s^{2}-2+4s-2s^{2}=1,o que confirma que a parametrização realmente satisfaz \,x^{2}+y^{2}-2z^{2}=1.

Resposta

\mathbf{r}(t)=\bigl(\sqrt{2}\cos t,\; -1+2\sin t,\; -1+\sin t\bigr),\qquad t\in[0,2\pi).

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