Verificar em cada um dos casos se o subconjunto
é uma base do espaço vetorial real
.
e
, munido das operações usuais.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o subconjunto
é uma base do espaço vetorial real
.
Informações dadas:
Informações dadas:
com as operações usuais (adição componente a componente e multiplicação por escalar).
A pergunta única: a coleção é uma base de
?
A pergunta única: a coleção
Passo 2
O que precisa ser verificado para que um conjunto seja base? Vou explicar passo a passo (como se estivéssemos juntos na prova):
Definições importantes (explicadas com calma):
- Linear combinação: dados vetores
e escalares , a expressão
é uma linear combinação desses vetores. Aqui cada
é um número real e cada
é um vetor em
.
- Espaço gerado (span): o conjunto de todas as linear combinações possíveis de
é chamado de . Esse é o subespaço formado por essas combinações. - Vetores linearmente independentes: os vetores
são linearmente independentes se a única solução para
é
. Se existe uma solução onde pelo menos um
, então os vetores são linearmente dependentes.
- Base: um conjunto é base de
se (1) gera (ou seja, seu span é todo ) e (2) é linearmente independente.
Esses são os dois testes que vamos aplicar em
: verificar independência linear e verificar se gera
. Vou mostrar cada verificação de forma bem direta.
Passo 3
Verificação de independência linear de
.
Tomemos escalares
e considere a combinação linear nula:
Note que
para qualquer
. Assim a equação acima reduz a
Isso implica que
. Mas observe: podemos escolher
e
e obter
Essa é uma combinação linear que dá o vetor zero em que nem todos os coeficientes são zero (pois
). Pelo critério da definição, isso já mostra que os vetores são linearmente dependentes. Em palavras simples: qualquer conjunto que contenha o vetor nulo é automaticamente linearmente dependente, porque o próprio vetor nulo pode aparecer com coeficiente não nulo numa combinação que resulte em zero.
Portanto,
é linearmente dependente.
Passo 4
Verificação se
gera
.
Calculemos o span de
. Uma combinação genérica é
Logo
que é a reta passando pela origem na direção do vetor
. Esse conjunto são todos os múltiplos escalares de
— ou seja, uma subreta de
, não o plano todo.
Para ver concretamente que não gera
, basta tentar representar um vetor que não esteja nessa reta, por exemplo
. Se existisse
tal que
, teríamos as componentes
Da primeira vem
; da segunda vem
. Contradição. Portanto
não pertence ao span de
. Assim
.
Conclusão:
não gera
.
Passo 5
Juntando os resultados:
é linearmente dependente (passo 3) e não gera
(passo 4). Como uma base precisa satisfazer ambos os requisitos (independência linear e gerar o espaço),
não pode ser uma base de
.
Força aí — essa questão costuma aparecer direto na prova: sempre verifique se há o vetor nulo no conjunto (alerta vermelho: já quebra a independência) e teste se é possível escrever um vetor fora da reta gerada (se for R^2, precisa de duas direções independentes).
Resposta
Não,
não é uma base de
.