Verificar em cada um dos casos se o subconjunto \mathcal{B} é uma base do espaço vetorial real (V,+, \cdot).
\mathcal{B}=\{(0,0),(2,3)\} e V=\mathbb{R}^{2}, munido das operações usuais.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o subconjunto \mathcal{B} é uma base do espaço vetorial real V.
Informações dadas:
\mathcal{B}=\{(0,0),(2,3)\},\qquad V=\mathbb{R}^{2}
com as operações usuais (adição componente a componente e multiplicação por escalar).
A pergunta única: a coleção \mathcal{B} é uma base de \mathbb{R}^{2}?

Passo 2

O que precisa ser verificado para que um conjunto seja base? Vou explicar passo a passo (como se estivéssemos juntos na prova):
Definições importantes (explicadas com calma):
  • Linear combinação: dados vetores \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_k e escalares c_1,\dots,c_k, a expressão
c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_k\mathbf{v}_k
é uma linear combinação desses vetores. Aqui cada c_i é um número real e cada \mathbf{v}_i é um vetor em \mathbb{R}^2.
  • Espaço gerado (span): o conjunto de todas as linear combinações possíveis de \mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_k é chamado de \operatorname{span}\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_k\}. Esse é o subespaço formado por essas combinações.
  • Vetores linearmente independentes: os vetores \mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_k são linearmente independentes se a única solução para
c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_k\mathbf{v}_k=\mathbf{0}
é c_1=\cdots=c_k=0. Se existe uma solução onde pelo menos um c_i\neq 0, então os vetores são linearmente dependentes.
  • Base: um conjunto é base de V se (1) gera V (ou seja, seu span é todo V) e (2) é linearmente independente.
Esses são os dois testes que vamos aplicar em \mathcal{B}: verificar independência linear e verificar se gera \mathbb{R}^2. Vou mostrar cada verificação de forma bem direta.

Passo 3

Verificação de independência linear de \mathcal{B}.
Tomemos escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R} e considere a combinação linear nula:
\alpha(0,0)+\beta(2,3)=(0,0).
Note que \alpha(0,0)=(0,0) para qualquer \alpha. Assim a equação acima reduz a
\beta(2,3)=(0,0).
Isso implica que \beta=0. Mas observe: podemos escolher \alpha=1 e \beta=0 e obter
1\cdot(0,0)+0\cdot(2,3)=(0,0).
Essa é uma combinação linear que dá o vetor zero em que nem todos os coeficientes são zero (pois \alpha=1). Pelo critério da definição, isso já mostra que os vetores são linearmente dependentes. Em palavras simples: qualquer conjunto que contenha o vetor nulo é automaticamente linearmente dependente, porque o próprio vetor nulo pode aparecer com coeficiente não nulo numa combinação que resulte em zero.
Portanto, \mathcal{B} é linearmente dependente.

Passo 4

Verificação se \mathcal{B} gera \mathbb{R}^2.
Calculemos o span de \mathcal{B}. Uma combinação genérica é
a(0,0)+b(2,3) = b(2,3),\qquad a,b\in\mathbb{R}.
Logo
\operatorname{span}(\mathcal{B})=\{b(2,3)\mid b\in\mathbb{R}\},
que é a reta passando pela origem na direção do vetor (2,3). Esse conjunto são todos os múltiplos escalares de (2,3) — ou seja, uma subreta de \mathbb{R}^2, não o plano todo.
Para ver concretamente que não gera \mathbb{R}^2, basta tentar representar um vetor que não esteja nessa reta, por exemplo (1,0). Se existisse b\in\mathbb{R} tal que b(2,3)=(1,0), teríamos as componentes
2b=1\quad\text{e}\quad 3b=0.
Da primeira vem b=\tfrac{1}{2}; da segunda vem b=0. Contradição. Portanto (1,0) não pertence ao span de \mathcal{B}. Assim \operatorname{span}(\mathcal{B})\neq\mathbb{R}^2.
Conclusão: \mathcal{B} não gera \mathbb{R}^2.

Passo 5

Juntando os resultados: \mathcal{B} é linearmente dependente (passo 3) e não gera \mathbb{R}^2 (passo 4). Como uma base precisa satisfazer ambos os requisitos (independência linear e gerar o espaço), \mathcal{B} não pode ser uma base de \mathbb{R}^2.
Força aí — essa questão costuma aparecer direto na prova: sempre verifique se há o vetor nulo no conjunto (alerta vermelho: já quebra a independência) e teste se é possível escrever um vetor fora da reta gerada (se for R^2, precisa de duas direções independentes).

Resposta

Não, \mathcal{B} não é uma base de \mathbb{R}^2.

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