Seja
.
a) Mostre que o vetor velocidade é sempre tangente à curva.
b) Verifique se o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição.
c) Interprete geometricamente esse resultado.
a) Mostre que o vetor velocidade é sempre tangente à curva.
b) Verifique se o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição.
c) Interprete geometricamente esse resultado.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede três coisas:
- (a) Mostrar que o vetor velocidade é sempre tangente à curva.
- (b) Verificar se o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição.
- (c) Interpretar geometricamente o resultado.
Informações relevantes dadas:
- A posição em função do parâmetro
é . - Não foi dado domínio explícito, então considerar
. - “Vetor velocidade” significa a derivada temporal da posição,
. - “Perpendicular” significa produto escalar nulo entre os vetores.
Passo 2
Calcular o vetor velocidade
componente a componente e explicar o porquê da derivada vetor ser o vetor tangente.
A derivada de uma função vetorial é feita derivando cada componente. As derivadas elementares que usamos são: a derivada de
é
e a derivada de
é
. Portanto
Explicação didática do que significa ser “tangente”: o vetor tangente à curva num parâmetro
é a direção do deslocamento instantâneo quando
varia; formalmente é o limite do vetor secante
Assim, por definição,
aponta na direção tangente à curva em
. Conclusão imediata: o vetor velocidade
é um vetor tangente à curva para todo
.
Passo 3
Mostrar algebraicamente que
é tangente olhando como ele se relaciona com a curva da circunferência.
A curva
descreve a circunferência de raio
centrada na origem, pois
O vetor
encontrado em
Passo 4
Calcular o produto escalar
e interpretar o resultado (verificação da perpendicularidade).
O produto escalar entre
e
é
Como o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais. Lembrando a relação geométrica do produto escalar: para vetores
e
,
onde
é o ângulo entre eles; se
e nenhum dos vetores é o vetor zero, então
e
. Logo
é perpendicular a
para todo
.
Passo 5
Interpretação geométrica detalhada (ajudando a visualizar e a aplicar na prova).
- O vetor posição
aponta do centro da circunferência (a origem) até o ponto na circunferência de raio . Portanto é um raio da circunferência. - O vetor velocidade
aponta na direção do movimento instantâneo do ponto sobre a circunferência; por
Passo 6
- Consequência física/matemática útil: o movimento é movimento circular uniforme (velocidade angular unitária e velocidade tangencial de módulo
). A aceleração é
ou seja, a aceleração aponta para a origem (centro da circunferência) e tem direção oposta ao raio — é a aceleração centrípeta. Isso é um fato padrão: para movimento circular uniforme a velocidade é tangente e a aceleração é radial apontando para o centro.
- Observação geral que ajuda na prova: para uma circunferência de raio
parametrizada por , as mesmas propriedades valem com fatores — o produto escalar continua zero, mostrando perpendicularidade entre e .
Resposta
(a) O vetor velocidade é
, e por ser a derivada da posição ele é tangente à curva para todo
.
(b) Sim.
, logo o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição para todo
.
(c) Geometricamente:
é o raio até um ponto da circunferência unitária e
é o vetor tangente à circunferência nesse ponto; portanto a velocidade é sempre tangente e ortogonal ao raio.