Seja r(t)=(\cos (t), \sin (t)).
a) Mostre que o vetor velocidade é sempre tangente à curva.
b) Verifique se o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição.
c) Interprete geometricamente esse resultado.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
r(t) = (\cos t,\;\sin t)
e pede três coisas:
  • (a) Mostrar que o vetor velocidade é sempre tangente à curva.
  • (b) Verificar se o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição.
  • (c) Interpretar geometricamente o resultado.
Informações relevantes dadas:
  • A posição em função do parâmetro t é r(t)=(\cos t,\sin t).
  • Não foi dado domínio explícito, então considerar t\in\mathbb{R}.
  • “Vetor velocidade” significa a derivada temporal da posição, r'(t).
  • “Perpendicular” significa produto escalar nulo entre os vetores.

Passo 2

Calcular o vetor velocidade r'(t) componente a componente e explicar o porquê da derivada vetor ser o vetor tangente.
A derivada de uma função vetorial é feita derivando cada componente. As derivadas elementares que usamos são: a derivada de \cos t é -\sin t e a derivada de \sin t é \cos t. Portanto
r'(t)=\bigl(\,(\cos t)'\,,\,(\sin t)'\bigr)=(-\sin t,\;\cos t).
Explicação didática do que significa ser “tangente”: o vetor tangente à curva num parâmetro t é a direção do deslocamento instantâneo quando t varia; formalmente é o limite do vetor secante
\lim_{h\to0}\frac{r(t+h)-r(t)}{h}=r'(t).
Assim, por definição, r'(t) aponta na direção tangente à curva em r(t). Conclusão imediata: o vetor velocidade r'(t)=(-\sin t,\cos t) é um vetor tangente à curva para todo t.

Passo 3

Mostrar algebraicamente que r'(t) é tangente olhando como ele se relaciona com a curva da circunferência.
A curva r(t)=(\cos t,\sin t) descreve a circunferência de raio 1 centrada na origem, pois
\|r(t)\|^2=(\cos t)^2+(\sin t)^2=1.
O vetor r'(t) encontrado em

Passo 4

Calcular o produto escalar r'(t)\cdot r(t) e interpretar o resultado (verificação da perpendicularidade).
O produto escalar entre r'(t)=(-\sin t,\cos t) e r(t)=(\cos t,\sin t) é
r'(t)\cdot r(t)=(-\sin t)(\cos t)+(\cos t)(\sin t) = -\sin t\cos t+\cos t\sin t = 0.
Como o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais. Lembrando a relação geométrica do produto escalar: para vetores u e v,
u\cdot v = \|u\|\,\|v\|\,\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre eles; se u\cdot v=0 e nenhum dos vetores é o vetor zero, então \cos\theta=0 e \theta=90^\circ. Logo r'(t) é perpendicular a r(t) para todo t.

Passo 5

Interpretação geométrica detalhada (ajudando a visualizar e a aplicar na prova).
  • O vetor posição r(t) aponta do centro da circunferência (a origem) até o ponto (\cos t,\sin t) na circunferência de raio 1. Portanto r(t) é um raio da circunferência.
  • O vetor velocidade r'(t) aponta na direção do movimento instantâneo do ponto sobre a circunferência; por

Passo 6

  • Consequência física/matemática útil: o movimento é movimento circular uniforme (velocidade angular unitária e velocidade tangencial de módulo \|r'(t)\|=1). A aceleração é
r''(t)=(-\cos t,-\sin t) = -r(t),
ou seja, a aceleração aponta para a origem (centro da circunferência) e tem direção oposta ao raio — é a aceleração centrípeta. Isso é um fato padrão: para movimento circular uniforme a velocidade é tangente e a aceleração é radial apontando para o centro.
  • Observação geral que ajuda na prova: para uma circunferência de raio R parametrizada por R(\cos t,\sin t), as mesmas propriedades valem com fatores R — o produto escalar continua zero, mostrando perpendicularidade entre r' e r.

Resposta

(a) O vetor velocidade é r'(t)=(-\sin t,\cos t), e por ser a derivada da posição ele é tangente à curva para todo t.
(b) Sim. r'(t)\cdot r(t)=0, logo o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição para todo t.
(c) Geometricamente: r(t) é o raio até um ponto da circunferência unitária e r'(t) é o vetor tangente à circunferência nesse ponto; portanto a velocidade é sempre tangente e ortogonal ao raio.

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