Considere a curva parametrizada
.
a) Calcule o vetor velocidade
b) Determine o vetor tangente unitário
.
c) Encontre o valor de
no ponto
.
a) Calcule o vetor velocidade
b) Determine o vetor tangente unitário
c) Encontre o valor de
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
As perguntas são:
- (a) Calcular o vetor velocidade
. - (b) Determinar o vetor tangente unitário
. - (c) Calcular
no ponto .
Informações relevantes fornecidas:
- A curva é dada por três funções de
: a primeira componente é , a segunda é e a terceira é . - O domínio é
, então todas as derivadas que vamos usar estão bem definidas nesse domínio.
Passo 2
Calcular
: o vetor velocidade é obtido derivando componente a componente. Vou lembrar as regras de derivação que usei:
- Regra da potência: se
então . - Derivada do logaritmo natural: se
então (para ). - Derivada da raiz quadrada:
, então usando a regra da potência .
Aplicando isso a cada componente:
- Primeira componente:
. - Segunda componente:
. - Terceira componente:
.
Portanto
Passo 3
Calcular a norma
: a norma de um vetor
é
Aqui
,
,
. Então:
Podemos escrever isso de forma um pouco mais compacta usando potências de
:
(se desejar uma forma alternativa, ao colocar tudo sobre o mesmo denominador
obtém-se
, mas a forma com soma de termos também é perfeitamente adequada.)]
Passo 4
Definição do vetor tangente unitário
: é o vetor velocidade normalizado,
Substituindo
e
que já calculamos:
Isto significa que cada componente de
foi dividida pela magnitude
, o que garante que
.
Passo 5
Avaliar
em
.
Primeiro
:
A norma em
:
Então