Considere a curva parametrizada r(t)=\left(t^{2}, \ln (t), \sqrt{t}\right), t>0.
a) Calcule o vetor velocidade \mathrm{r}^{\prime}(\mathrm{t})
b) Determine o vetor tangente unitário \mathrm{T}(\mathrm{t}).
c) Encontre o valor de \mathrm{T}(\mathrm{t}) no ponto \mathrm{t}=1.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
r(t)=\bigl(t^{2},\;\ln(t),\;\sqrt{t}\bigr),\qquad t>0.
As perguntas são:
  • (a) Calcular o vetor velocidade r'(t).
  • (b) Determinar o vetor tangente unitário T(t).
  • (c) Calcular T(t) no ponto t=1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A curva é dada por três funções de t: a primeira componente é t^{2}, a segunda é \ln(t) e a terceira é \sqrt{t}.
  • O domínio é t>0, então todas as derivadas que vamos usar estão bem definidas nesse domínio.

Passo 2

Calcular r'(t): o vetor velocidade é obtido derivando componente a componente. Vou lembrar as regras de derivação que usei:
  • Regra da potência: se f(t)=t^{n} então f'(t)=n\,t^{n-1}.
  • Derivada do logaritmo natural: se f(t)=\ln(t) então f'(t)=\dfrac{1}{t} (para t>0).
  • Derivada da raiz quadrada: \sqrt{t}=t^{1/2}, então usando a regra da potência (t^{1/2})'=\tfrac{1}{2}t^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{t}}.
Aplicando isso a cada componente:
  • Primeira componente: \bigl(t^{2}\bigr)'=2t.
  • Segunda componente: \bigl(\ln(t)\bigr)'=\dfrac{1}{t}.
  • Terceira componente: \bigl(\sqrt{t}\bigr)'=\dfrac{1}{2\sqrt{t}}.
Portanto
r'(t)=\biggl(2t,\;\dfrac{1}{t},\;\dfrac{1}{2\sqrt{t}}\biggr).

Passo 3

Calcular a norma \lVert r'(t)\rVert: a norma de um vetor (v_{1},v_{2},v_{3}) é
\lVert v\rVert=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}.
Aqui v_{1}=2t, v_{2}=\dfrac{1}{t}, v_{3}=\dfrac{1}{2\sqrt{t}}. Então:
\begin{aligned} \lVert r'(t)\rVert^{2} &=(2t)^{2}+\Bigl(\dfrac{1}{t}\Bigr)^{2}+\Bigl(\dfrac{1}{2\sqrt{t}}\Bigr)^{2}\\[6pt] &=4t^{2}+\dfrac{1}{t^{2}}+\dfrac{1}{4t}. \end{aligned}
Podemos escrever isso de forma um pouco mais compacta usando potências de t:
\lVert r'(t)\rVert=\sqrt{4t^{2}+t^{-2}+\tfrac{1}{4}t^{-1}}.
(se desejar uma forma alternativa, ao colocar tudo sobre o mesmo denominador 4t^{2} obtém-se \lVert r'(t)\rVert=\dfrac{1}{2t}\sqrt{16t^{4}+t+4}, mas a forma com soma de termos também é perfeitamente adequada.)]

Passo 4

Definição do vetor tangente unitário T(t): é o vetor velocidade normalizado,
T(t)=\dfrac{r'(t)}{\lVert r'(t)\rVert}.
Substituindo r'(t) e \lVert r'(t)\rVert que já calculamos:
T(t)=\dfrac{\bigl(2t,\;1/t,\;1/(2\sqrt{t})\bigr)}{\sqrt{4t^{2}+t^{-2}+\tfrac{1}{4}t^{-1}}}.
Isto significa que cada componente de r'(t) foi dividida pela magnitude \lVert r'(t)\rVert, o que garante que \lVert T(t)\rVert=1.

Passo 5

Avaliar T(t) em t=1.
Primeiro r'(1):
r'(1)=\bigl(2\cdot1,\;1/1,\;1/(2\sqrt{1})\bigr)=(2,\;1,\;1/2).
A norma em t=1:
\lVert r'(1)\rVert=\sqrt{4+1+\tfrac{1}{4}}=\sqrt{\tfrac{21}{4}}=\dfrac{\sqrt{21}}{2}.
Então
T(1)=\dfrac{(2,1,1/2)}{\sqrt{21}/2}=\dfrac{2}{\sqrt{21}}\,(2,1,1/2)=(4/\sqrt{21},\;2/\sqrt{21},\;1/\sqrt{21}).

Resposta

r'(t)=\bigl(2t,\;\dfrac{1}{t},\;\dfrac{1}{2\sqrt{t}}\bigr)
T(t)=\dfrac{\bigl(2t,\;1/t,\;1/(2\sqrt{t})\bigr)}{\sqrt{4t^{2}+t^{-2}+\tfrac{1}{4}t^{-1}}}
T(1)=\bigl(4/\sqrt{21},\;2/\sqrt{21},\;1/\sqrt{21}\bigr)

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