Questāo 6. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função f(x, y)=x^{2}-y^{2} sujeita à x^{2} / 4+y^{2}=1.

Passo 1

O enunciado nos pede para achar os extremos de
f(x,y)=x^{2}-y^{2}
sob a restrição
\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1.
O conteúdo aqui é multiplicadores de Lagrange: vamos considerar a função de restrição
g(x,y)=\frac{x^{2}}{4}+y^{2}-1
e impor \nabla f=\lambda\,\nabla g junto com g(x,y)=0.

Passo 2

Calculemos os gradientes:
\nabla f=(2x,\,-2y),
\nabla g=\Bigl(\frac{x}{2},\,2y\Bigr).
A condição de Lagrange \nabla f=\lambda\,\nabla g gera o sistema
2x=\lambda\frac{x}{2},
-2y=\lambda\,(2y),
além da restrição
\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1.

Passo 3

Das equações de Lagrange temos duas possibilidades para cada componente:
  1. Se x\neq0, da primeira equação vem
2x=\lambda\frac{x}{2}\quad\Longrightarrow\quad \lambda=4.
  1. Se x=0, a primeira é satisfeita para todo \lambda.
Analogamente,
  1. Se y\neq0, da segunda equação vem
-2y=\lambda\,2y\quad\Longrightarrow\quad \lambda=-1.
  1. Se y=0, a segunda é satisfeita para todo \lambda.
Como não dá para ter \lambda=4 e \lambda=-1 ao mesmo tempo, segue que ou x=0 ou y=0.

Passo 4

Caso y=0: a restrição fica
\frac{x^{2}}{4}+0=1\quad\Longrightarrow\quad x^{2}=4\quad\Longrightarrow\quad x=\pm2.
Nestes pontos (\pm2,0) vale
f(\pm2,0)=(\pm2)^{2}-0=4.

Passo 5

Caso x=0: a restrição fica
0+\;y^{2}=1\quad\Longrightarrow\quad y=\pm1.
Nestes pontos (0,\pm1) vale
f(0,\pm1)=0-(\pm1)^{2}=-1.

Passo 6

Agora comparamos os valores obtidos:
f(\pm2,0)=4,\qquad f(0,\pm1)=-1.
Logo o valor máximo de f na elipse é 4 e o mínimo é -1.

Resposta

Máximo de f: 4, atingido em (2,0) e (-2,0).
Mínimo de f: -1, atingido em (0,1) e (0,-1).

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