Questāo 6. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função
sujeita à
.
Passo 1
O enunciado nos pede para achar os extremos de
sob a restrição
O conteúdo aqui é multiplicadores de Lagrange: vamos considerar a função de restrição
e impor
junto com
.
Passo 2
Calculemos os gradientes:
A condição de Lagrange
gera o sistema
além da restrição
Passo 3
Das equações de Lagrange temos duas possibilidades para cada componente:
- Se
, da primeira equação vem
- Se
, a primeira é satisfeita para todo .
Analogamente,
- Se
, da segunda equação vem
- Se
, a segunda é satisfeita para todo .
Como não dá para ter
e
ao mesmo tempo, segue que ou
ou
.
Passo 4
Caso
: a restrição fica
Nestes pontos
vale
Passo 5
Caso
: a restrição fica
Nestes pontos
vale
Passo 6
Agora comparamos os valores obtidos:
Logo o valor máximo de
na elipse é
e o mínimo é
.
Resposta
Máximo de
:
, atingido em
e
.
Mínimo de :
, atingido em
e
.
Mínimo de