Encontre uma parametrização para as seguintes superficie, com os intervalos da parametrizaçāo:
Cilindro parabólico entre planos. A superfície cortada do cilindro parabólico z=4-y^{2} pelos planos x=0, x= 2 e z=0

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da porção do cilindro parabólico dada por z=4-y^{2} que está entre os planos x=0, x=2 e z=0. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vou listar:
  • A superfície é definida pela equação z=4-y^{2}.
  • Ela é “cortada” (limitada) pelos planos x=0 e x=2.
  • Ela também é limitada pelo plano z=0.
  • A tarefa é encontrar uma parametrização da porção dessa superfície e indicar os intervalos dos parâmetros.

Passo 2

Vamos entender que tipo de superfície é z=4-y^{2}. Essa equação não envolve x: isso significa que, para cada valor de y, a parábola z=4-y^{2} é “transportada” ao longo da direção x. Em palavras simples: é um cilindro parabólico (uma parábola em y- z extrudada ao longo de x). Para parametrizar uma superfície, precisamos escolher dois parâmetros (digamos u e v) e escrever as coordenadas (x,y,z) como funções desses parâmetros:
\mathbf{r}(u,v) = \big(x(u,v),\; y(u,v),\; z(u,v)\big).
A ideia mais direta aqui é usar os próprios x e y como parâmetros, porque a equação já dá z em termos de y.

Passo 3

Agora precisamos determinar os intervalos possíveis para x e y usando as restrições dadas. Primeiro o intervalo de y vem da interseção com z=0. Resolvendo
4 - y^{2} = 0
temos
y = \pm 2.
Portanto y varia entre -2 e 2, ou seja y\in[-2,2]. Eu obtive esse limite diretamente da condição z=0 aplicada à equação do cilindro parabólico.

Passo 4

O intervalo de x é imediatamente dado pelos planos x=0 e x=2. Logo x\in[0,2].

Passo 5

Escolhendo os parâmetros de forma direta: seja u o parâmetro que representa x e v o parâmetro que representa y. Então podemos definir a parametrização pela regra óbvia:
\mathbf{r}(u,v) = \big(u,\; v,\; 4 - v^{2}\big).
Os intervalos para os parâmetros são exatamente os intervalos que determinámos:
0 \le u \le 2,\qquad -2 \le v \le 2.
Explicando por que isso funciona: para qualquer par (u,v) no retângulo de parâmetros acima, a imagem \mathbf{r}(u,v) satisfaz z=4-y^{2} (porque z=4-v^{2} e y=v) e tem x=u com 0\le x\le2. Assim cobrimos toda a porção pedida da superfície, sem sobreposição desnecessária.

Passo 6

Verificação das fronteiras (importante para entender bem o domínio):
  • Quando v=\pm 2 temos z=4-(\pm 2)^{2}=0; isso corresponde às curvas de interseção com o plano z=0.
  • Quando u=0 ou u=2 obtemos as bordas da superfície correspondentes aos planos x=0 e x=2.
    Portanto o retângulo de parâmetros [0,2]\times[-2,2] mapeia exatamente para a porção do cilindro parabólico entre os planos indicados.

Passo 7

Observação prática para a prova: se o examinador pedir uma parametrização, a resposta mais rápida e segura é propor \mathbf{r}(u,v)=(u,v,4-v^{2}) com os intervalos explicados. Se preferir outros nomes de parâmetros (por exemplo x,y em vez de u,v) tudo bem; o essencial é deixar claro a correspondência entre parâmetros e as coordenadas e os intervalos.

Resposta

\mathbf{r}(u,v)=\big(u,\; v,\; 4 - v^{2}\big),\qquad 0\le u\le 2,\; -2\le v\le 2

Exercícios relacionados