Encontre uma parametrização para as seguintes superficie, com os intervalos da parametrizaçāo:
Cilindro parabólico entre planos. A superfície cortada do cilindro parabólico
pelos planos
Cilindro parabólico entre planos. A superfície cortada do cilindro parabólico
Passo 1
O enunciado pede uma parametrização da porção do cilindro parabólico dada por
que está entre os planos
,
e
. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vou listar:
- A superfície é definida pela equação
. - Ela é “cortada” (limitada) pelos planos
e . - Ela também é limitada pelo plano
. - A tarefa é encontrar uma parametrização da porção dessa superfície e indicar os intervalos dos parâmetros.
Passo 2
Vamos entender que tipo de superfície é
. Essa equação não envolve
: isso significa que, para cada valor de
, a parábola
é “transportada” ao longo da direção
. Em palavras simples: é um cilindro parabólico (uma parábola em
-
extrudada ao longo de
). Para parametrizar uma superfície, precisamos escolher dois parâmetros (digamos
e
) e escrever as coordenadas
como funções desses parâmetros:
A ideia mais direta aqui é usar os próprios
e
como parâmetros, porque a equação já dá
em termos de
.
Passo 3
Agora precisamos determinar os intervalos possíveis para
e
usando as restrições dadas. Primeiro o intervalo de
vem da interseção com
. Resolvendo
temos
Portanto
varia entre
e
, ou seja
. Eu obtive esse limite diretamente da condição
aplicada à equação do cilindro parabólico.
Passo 4
O intervalo de
é imediatamente dado pelos planos
e
. Logo
.
Passo 5
Escolhendo os parâmetros de forma direta: seja
o parâmetro que representa
e
o parâmetro que representa
. Então podemos definir a parametrização pela regra óbvia:
Os intervalos para os parâmetros são exatamente os intervalos que determinámos:
Explicando por que isso funciona: para qualquer par
no retângulo de parâmetros acima, a imagem
satisfaz
(porque
e
) e tem
com
. Assim cobrimos toda a porção pedida da superfície, sem sobreposição desnecessária.
Passo 6
Verificação das fronteiras (importante para entender bem o domínio):
- Quando
temos ; isso corresponde às curvas de interseção com o plano . - Quando
ou obtemos as bordas da superfície correspondentes aos planos e .
Portanto o retângulo de parâmetrosmapeia exatamente para a porção do cilindro parabólico entre os planos indicados.
Passo 7
Observação prática para a prova: se o examinador pedir uma parametrização, a resposta mais rápida e segura é propor
com os intervalos explicados. Se preferir outros nomes de parâmetros (por exemplo
em vez de
) tudo bem; o essencial é deixar claro a correspondência entre parâmetros e as coordenadas e os intervalos.