Seja G(x, y)=y^{3}+y-x=0. Mostre que essa relação é uma solução implícita para obter
y^{\prime}=\frac{1}{3 y^{2}+1}

Passo 1

O enunciado nos dá a relação implícita
G(x,y)=y^{3}+y-x=0.
O que se pede é mostrar que, considerando y como função de x (ou seja, y=y(x)), a derivada de y em relação a x é
y'=\frac{1}{3y^{2}+1}.
Informações relevantes que temos: a equação que relaciona x e y e a necessidade de obter y' (derivada de y em relação a x). Não faremos ainda nenhum desenvolvimento aqui, só listamos o dado e o que é pedido.

Passo 2

Explicando a ideia que vamos usar (muito calma, como se fosse uma aulinha curta): quando y é dada implicitamente por uma equação envolvendo x e y, podemos obter y' diferenciando ambos os lados da equação em relação a x. Ao diferenciar termos que dependem de y usamos a regra da cadeia: se temos uma função composta f(y(x)), então
\frac{d}{dx}f(y(x))=f'(y)\cdot y'(x).
No nosso caso, por exemplo, a derivada de y^{3} em relação a x será 3y^{2}\cdot y', porque primeiro diferenciamos y^{3} em relação a y (dando 3y^{2}) e depois multiplicamos por y' (derivada de y em relação a x). Também sabemos que \frac{d}{dx}x=1.

Passo 3

Agora diferenciamos ambos os lados da equação y^{3}+y-x=0 em relação a x. Aplicando termo a termo e usando a regra da cadeia quando necessário:
\frac{d}{dx}(y^{3})+\frac{d}{dx}(y)-\frac{d}{dx}(x)=\frac{d}{dx}(0).
Calculando cada derivada:
\frac{d}{dx}(y^{3})=3y^{2}\,y',
\frac{d}{dx}(y)=y',
\frac{d}{dx}(x)=1,
e \frac{d}{dx}(0)=0. Substituindo esses resultados na igualdade obtemos
3y^{2}\,y' + y' - 1 = 0.

Passo 4

Agrupamos os termos que contêm y' (fatoramos y'):
(3y^{2} + 1)\,y' - 1 = 0.
Isolando y' passamos o -1 para o outro lado:
(3y^{2} + 1)\,y' = 1.

Passo 5

Dividindo ambos os lados por 3y^{2}+1 (note que 3y^{2}+1>0 para todo y, então não dividimos por zero), obtemos a expressão final para y':
y'=\frac{1}{3y^{2}+1}.
Pronto — é exatamente o que o enunciado pedia.

Passo 6

Para consolidar a ideia, mostro uma forma alternativa, mais compacta, ligada ao mesmo princípio: definir G(x,y)=y^{3}+y-x. As derivadas parciais são
G_{x}=\frac{\partial G}{\partial x}=-1,\qquad G_{y}=\frac{\partial G}{\partial y}=3y^{2}+1.
A partir do teorema da função implícita (ou diferenciando implicitamente), temos a fórmula
y'=-\frac{G_{x}}{G_{y}}.
Substituindo G_{x} e G_{y} obtemos
y'=-\frac{-1}{3y^{2}+1}=\frac{1}{3y^{2}+1},
que coincide com o resultado anterior. Isso reforça que o cálculo direto e a visão em termos de derivadas parciais dão o mesmo resultado.

Resposta

y'=\frac{1}{3y^{2}+1}

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