Seja
. Mostre que essa relação é uma solução implícita para obter
Passo 1
O enunciado nos dá a relação implícita
O que se pede é mostrar que, considerando
como função de
(ou seja,
), a derivada de
em relação a
é
Informações relevantes que temos: a equação que relaciona
e
e a necessidade de obter
(derivada de
em relação a
). Não faremos ainda nenhum desenvolvimento aqui, só listamos o dado e o que é pedido.
Passo 2
Explicando a ideia que vamos usar (muito calma, como se fosse uma aulinha curta): quando
é dada implicitamente por uma equação envolvendo
e
, podemos obter
diferenciando ambos os lados da equação em relação a
. Ao diferenciar termos que dependem de
usamos a regra da cadeia: se temos uma função composta
, então
No nosso caso, por exemplo, a derivada de
em relação a
será
, porque primeiro diferenciamos
em relação a
(dando
) e depois multiplicamos por
(derivada de
em relação a
). Também sabemos que
.
Passo 3
Agora diferenciamos ambos os lados da equação
em relação a
. Aplicando termo a termo e usando a regra da cadeia quando necessário:
Calculando cada derivada:
e
. Substituindo esses resultados na igualdade obtemos
Passo 4
Agrupamos os termos que contêm
(fatoramos
):
Isolando
passamos o
para o outro lado:
Passo 5
Dividindo ambos os lados por
(note que
para todo
, então não dividimos por zero), obtemos a expressão final para
:
Pronto — é exatamente o que o enunciado pedia.
Passo 6
Para consolidar a ideia, mostro uma forma alternativa, mais compacta, ligada ao mesmo princípio: definir
. As derivadas parciais são
A partir do teorema da função implícita (ou diferenciando implicitamente), temos a fórmula
Substituindo
e
obtemos
que coincide com o resultado anterior. Isso reforça que o cálculo direto e a visão em termos de derivadas parciais dão o mesmo resultado.