Mostre que a relação
x^{2}+y^{2}-R^{2}=0 \quad(R>0)
é uma solução implícita da EDO y^{\prime}=-x / y em (-R, R).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a relação
x^{2}+y^{2}-R^{2}=0\quad(R>0)
é uma solução implícita da EDO
y'=-\frac{x}{y}
no intervalo (-R,R). Informações dadas: a equação da curva (um círculo de raio R) e a EDO. O objetivo concreto é verificar que qualquer função y(x) definida pela relação acima e com domínio (-R,R) é diferenciável nesse intervalo e que sua derivada satisfaz a igualdade da EDO.

Passo 2

O que significa ser “solução implícita”? Significa que existe uma função y(x) definida por
x^{2}+y(x)^{2}-R^{2}=0
para x em (-R,R), essa função é diferenciável em (-R,R) e a derivada y'(x) satisfaz a equação diferencial y'=-x/y. Uma forma direta de verificar isso é: (a) derivar implicitamente a relação e (b) verificar que a divisão que aparece é legítima no intervalo considerado.

Passo 3

Derivando implicitamente em relação a x a igualdade
x^{2}+y^{2}-R^{2}=0,
aplicamos a regra da derivada termo a termo e a regra da cadeia para y^{2}. A derivada de x^{2} é 2x. A derivada de y^{2} é 2y\,y' porque y é função de x (a derivada de u^{2} em relação a x é 2u\cdot u'). A derivada de -R^{2} é 0. Assim obtemos
2x + 2y\,y' = 0.

Passo 4

Isolando y' na igualdade anterior, dividimos por 2 e depois por y (vamos checar a validade dessa divisão em seguida):
y' = -\frac{x}{y}.
Essa é exatamente a EDO que queríamos verificar. Resta confirmar que podemos dividir por y no intervalo (-R,R).

Passo 5

Verificação de que y não é zero para x\in(-R,R): da relação \;x^{2}+y^{2}=R^{2}\; segue que se y=0 então x^{2}=R^{2}, isto é x=\pm R. Esses pontos x=\pm R são as extremidades do domínio do ramo real da circunferência; eles não pertencem ao intervalo aberto (-R,R). Portanto, para todo x\in(-R,R) temos y\neq 0 e a divisão por y é legítima. Conclusão: a derivação implícita e o passo que leva a y'=-x/y valem em todo (-R,R).

Passo 6

(Bônus: verificação por valores explícitos) Podemos também escrever explicitamente os ramos da relação como
y=\pm\sqrt{R^{2}-x^{2}},
definidos para |x|<R. Para o ramo positivo, derivando:
y'=\frac{d}{dx}\sqrt{R^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2\sqrt{R^{2}-x^{2}}}\cdot(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}=-\frac{x}{y}.
Para o ramo negativo a conta é análoga e também dá y'=-x/y. Isso confirma, de forma direta, que ambos os ramos satisfazem a EDO em (-R,R).

Resposta

x^{2}+y^{2}-R^{2}=0 é solução implícita de y'=-\dfrac{x}{y} em (-R,R).

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