Mostre que a relação
é uma solução implícita da EDO
em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a relação
é uma solução implícita da EDO
no intervalo
. Informações dadas: a equação da curva (um círculo de raio
) e a EDO. O objetivo concreto é verificar que qualquer função
definida pela relação acima e com domínio
é diferenciável nesse intervalo e que sua derivada satisfaz a igualdade da EDO.
Passo 2
O que significa ser “solução implícita”? Significa que existe uma função
definida por
para
em
, essa função é diferenciável em
e a derivada
satisfaz a equação diferencial
. Uma forma direta de verificar isso é: (a) derivar implicitamente a relação e (b) verificar que a divisão que aparece é legítima no intervalo considerado.
Passo 3
Derivando implicitamente em relação a
a igualdade
aplicamos a regra da derivada termo a termo e a regra da cadeia para
. A derivada de
é
. A derivada de
é
porque
é função de
(a derivada de
em relação a
é
). A derivada de
é
. Assim obtemos
Passo 4
Isolando
na igualdade anterior, dividimos por
e depois por
(vamos checar a validade dessa divisão em seguida):
Essa é exatamente a EDO que queríamos verificar. Resta confirmar que podemos dividir por
no intervalo
.
Passo 5
Verificação de que
não é zero para
: da relação
segue que se
então
, isto é
. Esses pontos
são as extremidades do domínio do ramo real da circunferência; eles não pertencem ao intervalo aberto
. Portanto, para todo
temos
e a divisão por
é legítima. Conclusão: a derivação implícita e o passo que leva a
valem em todo
.
Passo 6
(Bônus: verificação por valores explícitos) Podemos também escrever explicitamente os ramos da relação como
definidos para
. Para o ramo positivo, derivando:
Para o ramo negativo a conta é análoga e também dá
. Isso confirma, de forma direta, que ambos os ramos satisfazem a EDO em
.