Questão 2.

(8 P.)
(a) Calcule a transformada de Fourier da função abaixo usando a definição,
f(x)= \begin{cases}2, & -1<x<1 \\\\ 0, & x \leq-1 \text { ou } x \geq 1\end{cases}
(b) Utilize o item anterior e a tabela de transformadas para calcular a transformada de Fourier de
g(x)=\left\{\begin{array}{l} 2 x, \quad-1<x<1 \\\\ 0, \quad x \leq-1 \text { ou } x \geq 1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. (a) Calcular a transformada de Fourier da função
f(x)=\begin{cases}2,&-1<x<1,\\[4pt]0,&x\le-1\text{ ou }x\ge1.\end{cases}
  1. (b) Usar o resultado do item (a) e a tabela de transformadas para calcular a transformada de Fourier da função
g(x)=\begin{cases}2x,&-1<x<1,\\[4pt]0,&x\le-1\text{ ou }x\ge1.\end{cases}
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Ambas as funções são nulas fora do intervalo (-1,1).
  • Em (-1,1), f(x)=2 e g(x)=2x.
  • O enunciado pede explicitamente “usar a definição” no item (a) e usar o item (a) e tabela no item (b).]

Passo 2

Vou adotar a definição padrão (mais comum em cursos de análise/fourier) da transformada de Fourier de uma função h(x):
\mathcal{F}\{h\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} h(x)\,e^{-i\omega x}\,dx.
Aqui:
  • \omega é a variável de frequência (real).
  • i é a unidade imaginária, i^2=-1.
  • A integral é sobre toda a reta real; como nossas funções são compactamente suportadas em (-1,1), a integral reduz-se a esse intervalo.
    Esta convenção é compatível com a propriedade importante que vamos usar: se H(\omega)=\mathcal{F}\{h\}(\omega), então
\mathcal{F}\{x h(x)\}(\omega)=i\,\frac{d}{d\omega}H(\omega),
uma propriedade que vou justificar e usar no item (b).

Passo 3

Cálculo direto da transformada de f usando a definição.
Pela definição,
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx.
Como f(x)=0 fora de (-1,1), a integral fica
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\int_{-1}^{1} 2\,e^{-i\omega x}\,dx.
Vamos calcular essa integral passo a passo. Integramos exponencial complexa:
\int e^{-i\omega x}\,dx=\frac{e^{-i\omega x}}{-i\omega}\quad(\text{para }\omega\neq0).
Aplicando os limites -1 a 1,
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=2\left[\frac{e^{-i\omega x}}{-i\omega}\right]_{x=-1}^{x=1} =2\left(\frac{e^{-i\omega}-e^{i\omega}}{-i\omega}\right).
Observe que e^{-i\omega}-e^{i\omega}=-2i\sin\omega. Substituindo:
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=2\left(\frac{-2i\sin\omega}{-i\omega}\right) =2\left(\frac{2\sin\omega}{\omega}\right) =\frac{4\sin\omega}{\omega}, \quad\text{para }\omega\neq0.
Precisamos também saber o valor em \omega=0. Usamos o limite padrão \lim_{t\to0}\sin t/t=1, então
\lim_{\omega\to0}\frac{4\sin\omega}{\omega}=4.
Portanto a transformada é dada por \mathcal{F}\{f\}(\omega)=\dfrac{4\sin\omega}{\omega} com valor contínuo igual a 4 em \omega=0.

Passo 4

Explicação e prova rápida da propriedade que será usada no item (b):
Queremos relacionar a transformada de x h(x) com a derivada da transformada de h. Comece com
H(\omega)=\mathcal{F}\{h\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} h(x)\,e^{-i\omega x}\,dx.
Diferenciando em função de \omega (permite-se trocar derivada e integral quando h é, por exemplo, de suporte compacto, o que é o nosso caso):
\frac{d}{d\omega}H(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} h(x)\,\frac{d}{d\omega}\big(e^{-i\omega x}\big)\,dx =\int_{-\infty}^{\infty} h(x)\,(-i x)\,e^{-i\omega x}\,dx.
Logo
\int_{-\infty}^{\infty} x h(x)\,e^{-i\omega x}\,dx = i\,\frac{d}{d\omega}H(\omega).
Ou seja,
\mathcal{F}\{x h(x)\}(\omega)=i\,\frac{d}{d\omega}H(\omega).
Essa é a propriedade que vamos aplicar com h=f e g(x)=x f(x) (note que g(x)=2x em (-1,1) e f(x)=2 em (-1,1), então g(x)=x f(x) em todo o domínio).

Passo 5

Aplicando a propriedade ao nosso caso para obter a transformada de g.
Temos identificado que g(x)=x f(x) (porque f(x)=2 em (-1,1) e g(x)=2x nesse mesmo intervalo). Denotando F(\omega)=\mathcal{F}\{f\}(\omega) (resultado do Passo 3), obtemos
\mathcal{F}\{g\}(\omega)=i\,\frac{d}{d\omega}F(\omega).
Do Passo 3, F(\omega)=\dfrac{4\sin\omega}{\omega}. Vamos derivar isso cuidadosamente. Use a regra do quociente ou uma forma equivalente:
\frac{d}{d\omega}\!\left(\frac{\sin\omega}{\omega}\right) =\frac{\omega\cos\omega-\sin\omega}{\omega^2}.
Multiplicando por 4 e por i:
\mathcal{F}\{g\}(\omega) = i\cdot 4\cdot\frac{\omega\cos\omega-\sin\omega}{\omega^2} =4i\,\frac{\omega\cos\omega-\sin\omega}{\omega^2}, \quad\text{para }\omega\neq0.
Vamos verificar o valor em \omega=0 por limite. Use desenvolvimento em série (ou l’Hôpital): para \omega pequeno,
\sin\omega=\omega-\frac{\omega^3}{6}+O(\omega^5),\qquad \cos\omega=1-\frac{\omega^2}{2}+O(\omega^4).
Então
\omega\cos\omega-\sin\omega =\omega\Big(1-\frac{\omega^2}{2}+O(\omega^4)\Big) -\Big(\omega-\frac{\omega^3}{6}+O(\omega^5)\Big) =-\frac{\omega^3}{3}+O(\omega^5).
Dividindo por \omega^2 -\frac{\omega}{3}+O(\omega^3), e multiplicando por 4i tende a 0 quando \omega\to0. Portanto
\mathcal{F}\{g\}(0)=0.
Nota: alternativamente poderíamos calcular \mathcal{F}\{g\} diretamente pela integral
\int_{-1}^{1}2x\,e^{-i\omega x}\,dx,
que, usando paridade e separação em coseno/seno, leva à mesma expressão (resultado puro imaginário, consistente com 4i(\cdots)).

Resposta

\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\dfrac{4\sin\omega}{\omega} (com valor em \omega=0 igual a 4).
\mathcal{F}\{g\}(\omega)=4i\,\dfrac{\omega\cos\omega-\sin\omega}{\omega^2} (com valor em \omega=0 igual a 0).

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