A integral é sobre toda a reta real; como nossas funções são compactamente suportadas em (-1,1), a integral reduz-se a esse intervalo.
Esta convenção é compatível com a propriedade importante que vamos usar: se H(\omega)=\mathcal{F}\{h\}(\omega), então
Precisamos também saber o valor em \omega=0. Usamos o limite padrão \lim_{t\to0}\sin t/t=1, então
\lim_{\omega\to0}\frac{4\sin\omega}{\omega}=4.
Portanto a transformada é dada por \mathcal{F}\{f\}(\omega)=\dfrac{4\sin\omega}{\omega} com valor contínuo igual a 4 em \omega=0.
Passo 4
Explicação e prova rápida da propriedade que será usada no item (b):
Queremos relacionar a transformada de x h(x) com a derivada da transformada de h. Comece com
Essa é a propriedade que vamos aplicar com h=f e g(x)=x f(x) (note que g(x)=2x em (-1,1) e f(x)=2 em (-1,1), então g(x)=x f(x) em todo o domínio).
Passo 5
Aplicando a propriedade ao nosso caso para obter a transformada de g.
Temos identificado que g(x)=x f(x) (porque f(x)=2 em (-1,1) e g(x)=2x nesse mesmo intervalo). Denotando F(\omega)=\mathcal{F}\{f\}(\omega) (resultado do Passo 3), obtemos
Dividindo por \omega^2 dá -\frac{\omega}{3}+O(\omega^3), e multiplicando por 4i tende a 0 quando \omega\to0. Portanto
\mathcal{F}\{g\}(0)=0.
Nota: alternativamente poderíamos calcular \mathcal{F}\{g\} diretamente pela integral
\int_{-1}^{1}2x\,e^{-i\omega x}\,dx,
que, usando paridade e separação em coseno/seno, leva à mesma expressão (resultado puro imaginário, consistente com 4i(\cdots)).
Resposta
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\dfrac{4\sin\omega}{\omega} (com valor em \omega=0 igual a 4). \mathcal{F}\{g\}(\omega)=4i\,\dfrac{\omega\cos\omega-\sin\omega}{\omega^2} (com valor em \omega=0 igual a 0).