Encontre uma parametrização da superfície. (Existem várias maneiras corretas de fazer isso, de forma que suas respostas podem não ser as mesmas que constam no final do livro.)
Faixa cilíndrica circular A porção do cilindro y^{2}+z^{2}=9 entre os planos x=0 e x=3.

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da porção do cilindro definido por y^{2}+z^{2}=9 entre os planos x=0 e x=3.
Conteúdo: parametrização de superfícies, em particular de um cilindro circular reto. Vamos usar coordenadas cilíndricas (angle–height), identificando um parâmetro para o ângulo ao redor do eixo x e outro para a coordenada x.

Passo 2

Escolhemos como parâmetros: \displaystyle u para a coordenada ao longo do eixo x, com 0\le u\le3, \displaystyle v para o ângulo em torno do eixo x, com 0\le v\le2\pi.

Passo 3

No cilindro y^{2}+z^{2}=9, o raio é constante igual a 3. Em função do ângulo v:
y = 3\cos v, \quad z = 3\sin v.

Passo 4

Substituindo em função de (u,v), obtemos a parametrização da superfície:
\mathbf{r}(u,v) = \bigl(x(u,v),\,y(u,v),\,z(u,v)\bigr) = \bigl(u,\;3\cos v,\;3\sin v\bigr),
com \,0\le u\le3 e 0\le v\le2\pi.

Resposta

\mathbf{r}(u,v) = \bigl(u,\;3\cos v,\;3\sin v\bigr), \quad 0\le u\le3,\;0\le v\le2\pi.

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