Encontre uma parametrização da superfície. (Existem várias maneiras corretas de fazer isso, de forma que suas respostas podem não ser as mesmas que constam no final do livro.)
Faixa esférica A porção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 entre os planos z=\sqrt{3} / 2 e z=-\sqrt{3} / 2.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 que fica entre os planos z=\sqrt{3}/2 e z=-\sqrt{3}/2. Isso é um problema de parametrização de superfície usando coordenadas esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas podemos escrever qualquer ponto da esfera de raio \sqrt{3} como
x = \sqrt{3}\,\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \sqrt{3}\,\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \sqrt{3}\,\cos\varphi,
onde \varphi é o ângulo polar (medido a partir do eixo z) e \theta é o ângulo azimutal no plano xy.

Passo 3

Para restringir à faixa esférica entre z=\sqrt{3}/2 e z=-\sqrt{3}/2 usamos
\sqrt{3}\,\cos\varphi = z \quad\Longrightarrow\quad \cos\varphi = \frac{z}{\sqrt{3}}.
Como z varia de \sqrt{3}/2 até -\sqrt{3}/2, temos
\cos\varphi = \pm\frac12 \quad\Longrightarrow\quad \varphi = \frac{\pi}{3}\;\text{até}\;\varphi = \frac{2\pi}{3}.é

Passo 4

O ângulo azimutal \theta descreve toda a volta em torno do eixo z, logo
\theta\in [0,2\pi].

Passo 5

Juntando tudo, uma parametrização da faixa esférica é
\mathbf{r}(\varphi,\theta) =\bigl(\sqrt{3}\,\sin\varphi\cos\theta,\;\sqrt{3}\,\sin\varphi\sin\theta,\;\sqrt{3}\,\cos\varphi\bigr),
com
\varphi\in\Bigl[\tfrac{\pi}{3},\,\tfrac{2\pi}{3}\Bigr], \quad \theta\in[0,2\pi].

Resposta

\mathbf{r}(\varphi,\theta) =\bigl(\sqrt{3}\,\sin\varphi\cos\theta,\;\sqrt{3}\,\sin\varphi\sin\theta,\;\sqrt{3}\,\cos\varphi\bigr), \quad \varphi\in\Bigl[\tfrac{\pi}{3},\,\tfrac{2\pi}{3}\Bigr], \;\theta\in[0,2\pi].

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