Encontre uma parametrização da superfície. (Existem várias maneiras corretas de fazer isso, de forma que suas respostas podem não ser as mesmas que constam no final do livro.)
Faixa cilíndrica circular A porção do cilindro x^{2}+z^{2}=4 acima do plano x y entre os planos y=-2 e y=2.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da superfície dada pela porção do cilindro x^{2}+z^{2}=4 que fica acima do plano xy (isto é, com z\ge0) e entre os planos y=-2 e y=2. Vamos usar coordenadas cilíndricas para descrever essa faixa curva.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, um ponto genérico satisfaz
x = r\cos\theta, \quad z = r\sin\theta,
e aqui o cilindro impõe r=2. Logo x=2\cos\theta e z=2\sin\theta.

Passo 3

A condição de “acima do plano xy” equivale a z\ge0, ou seja, \sin\theta\ge0. Assim tomamos
\theta\in[0,\pi].
A coordenada y varia entre -2 e 2, logo podemos usar v=y\in[-2,2].

Passo 4

Escolhendo os parâmetros u=\theta e v=y, com u\in[0,\pi] e v\in[-2,2], obtemos a parametrização
\mathbf r(u,v) = \bigl(2\cos u,\;v,\;2\sin u\bigr).

Resposta

\displaystyle \mathbf r(u,v) = \bigl(2\cos u,\;v,\;2\sin u\bigr),\quad 0\le u\le\pi,\;-2\le v\le2.

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