Encontre uma parametrização da superfície. (Existem várias maneiras corretas de fazer isso, de forma que suas respostas podem não ser as mesmas que constam no final do livro.)
Cilindro parabólico entre planos A superfície cortada do cilindro parabólico z=4-y^{2} pelos planos x=0, x=2 e z=0.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da parte da superfície dada por z=4-y^{2} limitada pelos planos x=0, x=2 e z=0. O conteúdo é encontrar um campo vetorial \mathbf{r}(u,v) que descreva esse “cilindro parabólico” em termos de dois parâmetros.

Passo 2

Para determinar o domínio dos parâmetros note que z=4-y^{2}\ge0. Daí
4 - y^{2} \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad -2 \le y \le 2.
Além disso, pelos planos em x, temos
0 \le x \le 2.

Passo 3

Escolhemos dois parâmetros (u,v) de modo que
u = x, \quad v = y.
Assim, x e y variam nos intervalos identificados, e z fica expresso em função de v.

Passo 4

A função vetorial de parametrização é
\mathbf{r}(u,v) = \langle\,u,\;v,\;4 - v^{2}\rangle,
com domínio
0 \le u \le 2, \quad -2 \le v \le 2.

Passo 5

Varrendo u em [0,2] e v em [-2,2], obtemos exatamente todos os pontos da superfície z=4-y^{2} entre os planos dados e acima de z=0.

Resposta

\mathbf{r}(u,v) = \langle\,u,\;v,\;4 - v^{2}\rangle, \quad 0 \le u \le 2, \;-2 \le v \le 2.

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