Encontre uma parametrização da superfície. (Existem várias maneiras corretas de fazer isso, de forma que suas respostas podem não ser as mesmas que constam no final do livro.)
Plano inclinado dentro de um cilindro A porção do plano x+y+z=1.
Dentro do cilindro $y{2}+z{2}=9.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da parte do plano
x + y + z = 1
que fica dentro do cilindro
y^{2} + z^{2} = 9.
Ou seja, queremos uma aplicação \mathbf{r}(u,v)
que recobre exatamente os pontos (x,y,z) satisfazendo ambas as equações.

Passo 2

Para parametrizar, note que a condição y^{2}+z^{2}\le9 define um disco de raio 3 no plano yz. Então é natural usar coordenadas polares nesse disco:
y = r\cos\theta, \quad z = r\sin\theta,
com
0 \le r \le 3, \quad 0 \le \theta < 2\pi.

Passo 3

Como os pontos também têm de pertencer ao plano x+y+z=1, basta resolver para x:
x = 1 - y - z = 1 - \bigl(r\cos\theta\bigr) - \bigl(r\sin\theta\bigr).
Assim obtemos a parametrização em função de (r,\theta).

Passo 4

Escrevendo tudo junto, a parametrização da superfície é
\mathbf{r}(r,\theta) = \bigl(\,1 - r\cos\theta - r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;r\sin\theta\,\bigr),
com domínio dos parâmetros dado por
0 \le r \le 3, \quad 0 \le \theta < 2\pi.

Resposta

\mathbf{r}(r,\theta) = \bigl(1 - r\cos\theta - r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;r\sin\theta\bigr), \quad 0 \le r \le 3,\; 0 \le \theta < 2\pi.

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