Encontre uma parametrização da superfície. (Existem várias maneiras corretas de fazer isso, de forma que suas respostas podem não ser as mesmas que constam no final do livro.)
Plano inclinado dentro de um cilindro A porção do plano x+y+z=1.
Dentro do cilindro y^{2}+z^{2}=9

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da porção do plano
x + y + z = 1
que fica dentro do cilindro
y^{2} + z^{2} = 9.
O conteúdo aqui é parametrização de superfícies: como representar cada ponto do pedaço de plano por meio de dois parâmetros.

Passo 2

Para parametrizar um plano por dois parâmetros, resolvemos a equação do plano para uma das variáveis (por exemplo x) em função das outras duas. Da equação
x + y + z = 1
segue
x = 1 - y - z.
Podemos então usar
u = y, \quad v = z
como parâmetros. A condição de estar dentro do cilindro é
u^{2} + v^{2} \le 9.

Passo 3

Usando (u,v) como parâmetros, uma parametrização retangular é
\mathbf r(u,v) = \bigl(\,1 - u - v,\;u,\;v\bigr),
com
D = \{(u,v)\mid u^{2} + v^{2} \le 9\}.

Passo 4

Se quisermos usar coordenadas polares no plano y\!z, definimos
u = r\cos\theta,\quad v = r\sin\theta,
com 0 \le r \le 3 e 0 \le \theta \le 2\pi. Assim a parametrização fica
\mathbf r(r,\theta) = \bigl(\,1 - r\cos\theta - r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;r\sin\theta\bigr),
com
0 \le r \le 3, \quad 0 \le \theta \le 2\pi.

Resposta

Uma possível resposta é:
\mathbf r(u,v) = \bigl(\,1 - u - v,\;u,\;v\bigr), \quad (u,v)\in D,\;D=\{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le9\}.
Ou, em coordenadas polares,
\mathbf r(r,\theta) = \bigl(\,1 - r\cos\theta - r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;r\sin\theta\bigr), \quad 0\le r\le3,\;0\le\theta\le2\pi.

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