Desenhe um campo de direções para cada equação diferencial abaixo. Baseado no campo de direções, determine o comportamento de
quando
.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o campo de direções da equação diferencial autônoma
e, a partir dele, inferir o que acontece com
quando
. Aqui vamos usar o método de linha de fase: identificamos pontos de equilíbrio, estudamos o sinal de
nos intervalos formados por esses pontos e, por fim, lemos o comportamento assintótico.
Passo 2
Encontramos os pontos de equilíbrio resolvendo
Logo, os equilibria são
Passo 3
Estudamos o sinal de
em cada intervalo definido por
e
:
- Se
, então e , logo . - Se
, então e , logo . - Se
, então e , logo .
Em cada faixa horizontal do plano, os pequenos segmentos do campo de direções têm inclinação positiva para e , e negativa para .
Passo 4
Da mudança de sinal de
vemos a estabilidade dos pontos:
- Em torno de
, para ligeiramente abaixo de 0 os vetores apontam para cima, e para entre e apontam para baixo. Logo, as soluções convergem para : é um ponto estável (atrator). - Em torno de
, para (=em ) o sinal é negativo (afasta para baixo) e para o sinal é positivo (afasta para cima). Logo, é instável (repulsor).
Passo 5
Com isso, o comportamento assintótico é:
- Se
ou , então quando . - Se
, então quando . - Se
fica em ; se fica em .
Resposta
Para
:
-
se . -
se . - Casos de equilíbrio:
ou .