Desenhe um campo de direções para cada equação diferencial abaixo. Baseado no campo de direções, determine o comportamento de boldsymbol{y} quando boldsymbol{t} \rightarrow \infty.
boldsymbol{y}^{\prime}=\boldsymbol{y}(\boldsymbol{y}-\mathbf{3})

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o campo de direções da equação diferencial autônoma
y' = y\,(y-3)
e, a partir dele, inferir o que acontece com y(t) quando t\to\infty. Aqui vamos usar o método de linha de fase: identificamos pontos de equilíbrio, estudamos o sinal de y' nos intervalos formados por esses pontos e, por fim, lemos o comportamento assintótico.

Passo 2

Encontramos os pontos de equilíbrio resolvendo
y(y-3)=0
Logo, os equilibria são
y=0 \quad\text{e}\quad y=3.

Passo 3

Estudamos o sinal de y' em cada intervalo definido por 0 e 3:
  • Se y<0, então y<0 e y-3<0, logo y(y-3)>0.
  • Se 0<y<3, então y>0 e y-3<0, logo y(y-3)<0.
  • Se y>3, então y>0 e y-3>0, logo y(y-3)>0.
    Em cada faixa horizontal do plano (t,y), os pequenos seg­mentos do campo de direções têm inclinação positiva para y<0 e y>3, e negativa para 0<y<3.

Passo 4

Da mudança de sinal de y' vemos a estabilidade dos pontos:
  • Em torno de y=0, para y ligeiramente abaixo de 0 os vetores apontam para cima, e para y entre 0 e 3 apontam para baixo. Logo, as soluções convergem para y=0: é um ponto estável (atrator).
  • Em torno de y=3, para y<3 (=em 0<y<3) o sinal é negativo (afasta para baixo) e para y>3 o sinal é positivo (afasta para cima). Logo, y=3 é instável (repulsor).

Passo 5

Com isso, o comportamento assintótico é:
  • Se y(0)<0 ou 0<y(0)<3, então y(t)\to0 quando t\to\infty.
  • Se y(0)>3, então y(t)\to+\infty quando t\to\infty.
  • Se y(0)=0 fica em 0; se y(0)=3 fica em 3.

Resposta

Para \;y'=y(y-3):
  • y(t)\to0 se y(0)<3.
  • y(t)\to+\infty se y(0)>3.
  • Casos de equilíbrio: y(t)\equiv0 ou y(t)\equiv3.

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