Desenhe um campo de direções para cada equação diferencial abaixo. Baseado no campo de direções, determine o comportamento de
quando
.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o campo de direções da equação
e, a partir desse campo, concluir o comportamento de
quando
. O conteúdo envolvido é a análise de campo de direções (pendentes em cada ponto
) e a identificação de pontos de equilíbrio e sua estabilidade.
Passo 2
Para entender o campo de direções, note que a inclinação em cada ponto
é
que não depende de
. As linhas horizontais onde a inclinação é constante (\emph{isoclinas}) satisfazem
Em particular, o ponto de equilíbrio ocorre quando
Nessa linha horizontal
, todos os segmentos do campo são horizontais (slope zero).
Passo 3
Agora analisamos o sinal de
:
Se , então
, logo
e as soluções decrescem em direção a
.
Se , então
, logo
e as soluções crescem em direção a
.
Assim, todas as curvas do campo de direções são “puxadas” para a reta .
Se
Se
Assim, todas as curvas do campo de direções são “puxadas” para a reta
Passo 4
A reta
é um ponto de equilíbrio estável e atrai todas as soluções conforme
.
Resposta
Conforme
, todas as soluções
tendem a
.