Desenhe um campo de direções para cada equação diferencial abaixo. Baseado no campo de direções, determine o comportamento de boldsymbol{y} quando boldsymbol{t} \rightarrow \infty.
boldsymbol{y}^{\prime}=-\boldsymbol{2}-\boldsymbol{y}

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o campo de direções da equação
y' = -2 - y
e, a partir desse campo, concluir o comportamento de y quando t \to \infty. O conteúdo envolvido é a análise de campo de direções (pendentes em cada ponto (t,y)) e a identificação de pontos de equilíbrio e sua estabilidade.

Passo 2

Para entender o campo de direções, note que a inclinação em cada ponto (t,y) é
y' = -2 - y,
que não depende de t. As linhas horizontais onde a inclinação é constante (\emph{isoclinas}) satisfazem
-2 - y = \text{constante}.
Em particular, o ponto de equilíbrio ocorre quando
-2 - y = 0\quad\Longrightarrow\quad y = -2.
Nessa linha horizontal y=-2, todos os segmentos do campo são horizontais (slope zero).

Passo 3

Agora analisamos o sinal de y':
Se y > -2, então -2 - y < 0, logo y'<0 e as soluções decrescem em direção a -2.
Se y < -2, então -2 - y > 0, logo y'>0 e as soluções crescem em direção a -2.
Assim, todas as curvas do campo de direções são “puxadas” para a reta y=-2.

Passo 4

A reta y=-2 é um ponto de equilíbrio estável e atrai todas as soluções conforme t\to\infty.

Resposta

Conforme t \rightarrow \infty, todas as soluções y(t) tendem a -2.

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