Resolva os problemas de valor inicial abaixo.
l(e^t y+t e^t y) d t+(t e^t+2) d y=0 y(0)=-1,

Passo 1

Estamos resolvendo a equação diferencial
(e^ty + t e^ty),dt + (t e^t + 2),dy = 0
com condição inicial y(0) = -1. O conteúdo é de equações diferenciais exatas: vamos verificar a exatidão e, em seguida, encontrar a função potencial.

Passo 2

Identificamos
M(t,y) = e^ty + t e^ty = e^ty(1 + t) e N(t,y) = t e^t + 2. Calculamos
partial Mpartial y = e^t(1 + t),
partial Npartial t = e^t + t e^t = e^t(1 + t)
Como partial M/partial y = partial N/partial t, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função potencial psi(t,y) tal que partialpsi/partial t = M. Integramos
psi(t,y) = integral e^ty(1 + t),dt = y integral e^t(1 + t),dt = y l(te^tr) + h(y)

Passo 4

Para determinar h(y), usamos partialpsi/partial y = N. Calculamos
partialpsipartial y = te^t + h'(y)
e igualamos a t e^t + 2, obtendo h'(y) = 2 e, ao integrar, h(y) = 2y + C1. Assim,
psi(t,y) = y(te^t + 2) + C1,
que define a solução implícita y(te^t + 2) = C.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0) = -1:
y(0)l(0cdot e^0 + 2r) = -1 cdot 2 = -2 = C
Logo, a solução explícita é y(te^t + 2) = -2, de onde y(t) = -2te^t + 2.

Resposta

y(t) = -2t e^t + 2

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