Encontre partial wpartial s onde w(x, y, z)=4 x+y^2+z^3 e x(r, s, t)=e^r s^2, y(r, s, t)=ln (r+st) e z(r, s, t)=r s t^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial ∂w/∂s da função composta w(x,y,z) com x, y e z dados em função de (r,s,t). O conteúdo principal é a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, encontramos as derivadas parciais de w em relação a x, y e z. Como w(x,y,z)=4x+y^2+z^3, temos:
partial wpartial x=4,
partial wpartial y=2y,
partial wpartial z=3z^2

Passo 3

Agora, derivamos x, y e z em relação a s, tratando r e t como constantes:
Para x(r,s,t)=e^r s^2,
partial xpartial s=e^r s^2cdot(2rs)=2rs,e^r s^2
Para y(r,s,t)=lnl(r+str),
partial ypartial s=1r+s
Para z(r,s,t)=r s t^2,
partial zpartial s=r t^2

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia:
partial wpartial s=partial wpartial xpartial xpartial s+partial wpartial ypartial ypartial s+partial wpartial zpartial zpartial s
Substituindo os resultados:
partial wpartial s=4,(2rs e^r s^2)+2y,(tfrac1r+s)+3z^2,(r t^2)
Finalmente, como y=lnl(r+str) e z=r s t^2, isso fica:
partial wpartial s=8rs e^r s^2+2lnl(tfracr+str)r+s+3,r^3 s^2 t^6

Resposta

partial wpartial s=8rs e^r s^2+2lnl(tfracr+str)r+s+3r^3 s^2 t^6.

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