Encontre partial zpartial x e partial zpartial y nas equações dadas admitindo que z seja uma função diferenciável de x e y:
x^2-3 y z^2+x y z-2=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $ e $ \frac{\partial z}{\partial y} $. A equação que temos é $ x^{2} - 3 y z^{2} + x y z - 2 = 0 $. Para isso, vamos usar o conceito de derivação implícita, que nos ajuda a encontrar derivadas quando as variáveis estão misturadas dessa forma.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a equação inteira em relação a $ x $, tratando $ z $ como uma função de $ x $ e $ y $. Lembra que quando derivamos algo que depende de $ x $, temos que usar a regra da cadeia. Então, derivando cada termo:
x

Passo 3

Vamos derivar cada termo:
  1. $ \frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x $
  2. Para $ \frac{d}{dx}(3 y z^{2}) $, tratamos $ y $ como constante (já que estamos derivando em relação a $ x $) e aplicamos a regra da cadeia na parte de $ z^{2} $: ddx(x^2) = 2x
  3. Para $ \frac{d}{dx}(x y z) $, usamos a regra do produto: ddx(3 y z^2)
  4. $ \frac{d}{dx}(2) = 0 $

Passo 4

Substituindo todas as derivadas de volta na equação:
2x - 6 y z partial zpartial x + y z + x y partial zpartial x = 0
Agora, vamos agrupar os termos que contêm $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
partial zpartial x

Passo 5

Isolando $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
partial zpartial x
Dividindo ambos os lados por $ -6 y z + x y $:
( -6 y z + x y ) partial zpartial x = -2x - y z

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para encontrar $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Derivamos a equação original em relação a $ y $:
partial zpartial y

Passo 7

Derivando cada termo:
  1. $ \frac{d}{dy}(x^{2}) = 0 $ (pois $ x $ é tratado como constante)
  2. Para $ \frac{d}{dy}(3 y z^{2}) $: ddy(x^2) = 0
  3. Para $ \frac{d}{dy}(x y z) $: x
  4. $ \frac{d}{dy}(2) = 0 $

Passo 8

Substituindo de volta na equação:
0 - (3 z^2 + 6 y z partial zpartial y) + x z + x y partial zpartial y = 0
Simplificando:
-3 z^2 - 6 y z partial zpartial y + x z + x y partial zpartial y = 0
Agrupando os termos com $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
partial zpartial y

Passo 9

Isolando $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
partial zpartial y
Dividindo ambos os lados por $ -6 y z + x y $:
(-6 y z + x y) partial zpartial y = -x z + 3 z^2

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = 2x + y z6 y z - x y e partial zpartial y = x z - 3 z^26 y z - x y

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