Encontre
nas equações dadas admitindo que
seja uma função diferenciável de
e
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $ e $ \frac{\partial z}{\partial y} $. A equação que temos é $ x^{2} - 3 y z^{2} + x y z - 2 = 0 $. Para isso, vamos usar o conceito de derivação implícita, que nos ajuda a encontrar derivadas quando as variáveis estão misturadas dessa forma.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a equação inteira em relação a $ x $, tratando $ z $ como uma função de $ x $ e $ y $. Lembra que quando derivamos algo que depende de $ x $, temos que usar a regra da cadeia. Então, derivando cada termo:
Passo 3
Vamos derivar cada termo:
- $ \frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x $
- Para $ \frac{d}{dx}(3 y z^{2}) $, tratamos $ y $ como constante (já que estamos derivando em relação a $ x $) e aplicamos a regra da cadeia na parte de $ z^{2} $:
- Para $ \frac{d}{dx}(x y z) $, usamos a regra do produto:
- $ \frac{d}{dx}(2) = 0 $
Passo 4
Substituindo todas as derivadas de volta na equação:
Agora, vamos agrupar os termos que contêm $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
Passo 5
Isolando $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
Dividindo ambos os lados por $ -6 y z + x y $:
Passo 6
Agora, vamos fazer o mesmo para encontrar $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Derivamos a equação original em relação a $ y $:
Passo 7
Derivando cada termo:
- $ \frac{d}{dy}(x^{2}) = 0 $ (pois $ x $ é tratado como constante)
- Para $ \frac{d}{dy}(3 y z^{2}) $:
- Para $ \frac{d}{dy}(x y z) $:
- $ \frac{d}{dy}(2) = 0 $
Passo 8
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Agrupando os termos com $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
Passo 9
Isolando $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
Dividindo ambos os lados por $ -6 y z + x y $:
Resposta
As derivadas parciais são: