Determine d yd x nas equações dadas, admitindo que y seja uma função diferenciável de x:
e^x y+y e^y=1

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a derivada implícita de , y em função de , x na equação
e^xy+y,e^y=1
O conteúdo é diferenciação implícita, usando regra da cadeia e produto, e vamos precisar que y dependa de x.

Passo 2

Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. No lado direito, a derivada de 1 é zero. Assim:
ddxl(e^xyr)+ddxl(y,e^yr)=0

Passo 3

Para o primeiro termo e^xy, aplicamos regra da cadeia. Se u=xy, então d(e^u)/dx=e^u,du/dx e du/dx=y+x,y'. Logo:
ddxl(e^xyr)=e^xy,(y + x,y')

Passo 4

No segundo termo y,e^y, usamos regra do produto. Se v=y e w=e^y, então:
ddx(v w)=v' w+v w'
Aqui v'=y' e w'=e^y,y', então:
ddxl(y,e^yr)=y',e^y + y,e^y,y'=e^y,(1+y),y'

Passo 5

Substituindo as derivadas na soma e igualando a zero, obtemos:
e^xy(y + x y') + e^y(1+y),y'=0
Agrupando os termos que contêm y':
e^xyy + y'l(e^xyx + e^y(1+y)r)=0

Passo 6

Isolando y':
y'l(e^xyx + e^y(1+y)r)=-e^xyy
Portanto:
y'=-e^xyye^xyx + e^y(1+y)

Resposta

dydx=-e^xy,ye^xy,x + e^y,(1+y)

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